Exercicio 1 -
Seja f(x, y) de classe C 2 e seja g dada por g(t)=t 2 \partial f \partial x(x, y), onde x=t 2 e y=t 3. Expresse g^{\prime} (t) em termos das parciais de f.

Passo 1

O enunciado define uma função f(x,y) de classe C^2 e a função
g(t) = t^2\,\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(x(t),y(t)\bigr)
com x(t)=t^2 e y(t)=t^3. Precisamos calcular g'(t) usando a regra do produto e a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Aplicamos a regra do produto a
g(t) = t^2 \cdot \frac{\partial f}{\partial x}\bigl(x(t),y(t)\bigr),
obtendo
g'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(t^2\bigr)\,\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(x(t),y(t)\bigr) + t^2 \,\frac{d}{dt}\!\Bigl[\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\Bigr].

Passo 3

Para a segunda parcela, usamos a regra da cadeia sobre \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x(t),y(t)).
Temos
\frac{d}{dt}\!\Bigl[\frac{\partial f}{\partial x}(x(t),y(t))\Bigr] =\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x(t),y(t))\,x'(t) +\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x(t),y(t))\,y'(t).

Passo 4

Como x'(t)=2t e y'(t)=3t^2, substituímos em g'(t):
g'(t) =2t\,\frac{\partial f}{\partial x}(t^2,t^3) + t^2\Bigl[\,\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(t^2,t^3)\cdot2t +\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(t^2,t^3)\cdot3t^2\Bigr].
Fazendo a distribuição,
g'(t) =2t\,\frac{\partial f}{\partial x}(t^2,t^3) +2t^3\,\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(t^2,t^3) +3t^4\,\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(t^2,t^3).

Resposta

g'(t) =2t\,\frac{\partial f}{\partial x}(t^2,t^3) +2t^3\,\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(t^2,t^3) +3t^4\,\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(t^2,t^3).

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