Um reservatório com 100 milhões de litros de água contém 700 kg de fluoreto totalmente dissolvidos de forma homogênea. Para diluir a quantidade excessiva de fluoreto no reservatório, um sistema injeta 3 milhões de litros de água pura por dia. Sabendo que no Brasil a legislação indica que deve haver até 1,5 miligramas de fluoreto por litro de água, mostre que apenas após 51 dias de injeção de água pura, a água do reservatório estará própria para consumo.

Passo 1

O enunciado descreve um reservatório de volume
V = 100\text{ milhões de litros} = 1\times 10^{8}\,\mathrm Lõ
com massa inicial de fluoreto totalmente dissolvido
M_{0} = 700\text{ kg} = 700\times 10^{3}\,\mathrm g = 7\times 10^{8}\,\mathrm{mg},
e que recebe injeção de água pura à vazão
q = 3\text{ milhões de litros por dia} = 3\times 10^{6}\,\mathrm L/\mathrm{dia}.õ
Como o reservatório mantém o volume constante, cada dia sai a mesma quantidade de mistura que entra. A legislação exige concentração máxima de
C_{\text{leg}} = 1{,}5\,\mathrm{mg/L}.
Para resolver, vamos usar o modelo de mistura perfeita em bateladas diárias, que leva à recorrência
C_{n+1} = \Bigl(1 - \frac{q}{V}\Bigr)\,C_n.

Passo 2

Calculamos a concentração inicial em \mathrm{mg/L}:
C_0 = \frac{M_{0}}{V} = \frac{7\times 10^{8}\,\mathrm{mg}}{1\times 10^{8}\,\mathrm L} = 7\,\mathrm{mg/L}.

Passo 3

O fator de diluição diário é
1 - \frac{q}{V} = 1 - \frac{3\times 10^{6}}{1\times 10^{8}} = 0{,}97.
Logo, após n dias a concentração será
C_n = C_0\,(0{,}97)^n = 7\,(0{,}97)^n\\ \mathrm{mg/L}.

Passo 4

Queremos o menor n tal que
C_n \le C_{\text{leg}} \quad\Longleftrightarrow\quad 7\,(0{,}97)^n \le 1{,}5.
Isolando (0{,}97)^n e aplicando logaritmo:
(0{,}97)^n \le \frac{1{,}5}{7} \quad\Longrightarrow\quad n \,\ln(0{,}97) \le \ln\!\Bigl(\tfrac{1{,}5}{7}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad n \ge \frac{\ln(1{,}5/7)}{\ln(0{,}97)}.
Numericamente,
\frac{\ln(1{,}5/7)}{\ln(0{,}97)} \approx \frac{\ln(0{,}2142857)}{\ln(0{,}97)} \approx \frac{-1{,}541}{-0{,}0305} \approx 50{,}5.
Como n precisa ser inteiro e assegurar C_n\le1{,}5, escolhemos n=51.

Resposta

Apenas após 51 dias de injeção de água pura a concentração de fluoreto cairá a 1{,}5\,\mathrm{mg/L} ou menos, ficando própria para consumo.

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