( 2,3 pts.) Resolva cada um dos seguintes sistemas por clininação Gaussiana:
\begin{cases}x+y+z & =6 \\\\ 2 x-y+3 z & =14 \\\\ -3 x+4 y+2 z & =-2\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para resolver por eliminação de Gauss o sistema
\begin{cases} x + y + z = 6,\\\\ 2x - y + 3z = 14,\\\\ -3x +4y +2z = -2.
O conteúdo é operações elementares em linhas de matriz aumentada para levar a um sistema triangular, seguido de retro‐substituição.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema.
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\\\ 2 & -1 & 3 & 14\\\\ -3 & 4 & 2 & -2 \end{array}\right]

Passo 3

Usamos a primeira linha para zerar as entradas abaixo de 1 na coluna x.
Fazemos
R_2 \leftarrow R_2 - 2\,R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 + 3\,R_1.
Isso produz
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\\\ 0 & -3 & 1 & 2\\\\ 0 & 7 & 5 & 16 \end{array}\right].

Passo 4

Para continuar, primeiro escalonamos a segunda linha dividindo por -3:
R_2 \leftarrow -\tfrac{1}{3}R_2 \quad\longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3}\\\\ 0 & 7 & 5 & 16 \end{array}\right].
Agora zeramos a entrada 7 na coluna y da terceira linha fazendo
R_3 \leftarrow R_3 - 7\,R_2,
obtendo
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3}\\\\ 0 & 0 & \tfrac{22}{3} & \tfrac{62}{3} \end{array}\right].
Da terceira linha vem
\tfrac{22}{3}\,z = \tfrac{62}{3} \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{62/3}{22/3} = \frac{62}{22} = \frac{31}{11}.

Passo 5

Com z conhecido, retro‐substituímos na segunda linha:
y - \tfrac{1}{3}z = -\tfrac{2}{3} \quad\Longrightarrow\quad y = -\tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{31}{11} = -\tfrac{2}{3} + \tfrac{31}{33} = \tfrac{-22+31}{33} = \tfrac{9}{33} = \tfrac{3}{11}.
Finalmente, substituímos y e z na primeira equação:
x + y + z = 6 \quad\Longrightarrow\quad x = 6 - \tfrac{3}{11} - \tfrac{31}{11} = \tfrac{66 - 3 - 31}{11} = \tfrac{32}{11}.

Resposta

x = \frac{32}{11},\quad y = \frac{3}{11},\quad z = \frac{31}{11}.

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