(2.0) Use a Regra da Cadeia para determinar a derivada da função dada abaixo.
f(x)=\frac{1}{\left(x^{2}+4 x\right)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{1}{\bigl(x^{2}+4x\bigr)^{3}}.
Para isso vamos usar a Regra da Cadeia, que afirma que, para f(x)=g\bigl(u(x)\bigr), vale
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 2

Reescrevemos f como composição de duas funções: a parte interna
u(x)=x^{2}+4x
e a parte externa
g(u)=u^{-3},
de modo que
f(x)=g\bigl(u(x)\bigr).

Passo 3

Derivamos a função externa g(u)=u^{-3}. Pela regra do poder temos
g'(u)=-3\,u^{-4}.

Passo 4

Derivamos a função interna u(x)=x^{2}+4x. Pela soma de derivadas e regra do poder,
u'(x)=2x+4.

Passo 5

Aplicando a Regra da Cadeia:
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =-3\bigl(x^{2}+4x\bigr)^{-4}\,(2x+4).

Passo 6

Simplificando o produto:
f'(x)=-\frac{3(2x+4)}{(x^{2}+4x)^{4}} =-\frac{6(x+2)}{(x^{2}+4x)^{4}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{6(x+2)}{(x^{2}+4x)^{4}}.

Exercícios relacionados