Exercício 2. Seja
a) (
pontos) Encontre os pontos críticos de
.
b) ( 5 pontos) Aplique o teste da segunda derivada para decidir se os pontos encontrados em (a) são de máximo ou mínimo local, ou pontos de sela.
b) ( 5 pontos) Aplique o teste da segunda derivada para decidir se os pontos encontrados em (a) são de máximo ou mínimo local, ou pontos de sela.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Encontrar os pontos críticos de
. - (b) Usar o teste da segunda derivada para decidir se cada ponto crítico é de máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
(já escrita acima). - Não há restrições no domínio:
e variam livremente em .
Passo 2
O que é um ponto crítico (explicação didática): um ponto
é crítico quando as derivadas parciais primeiras existem e a derivada parcial em relação a cada variável é zero ali. Em termos compactos, é quando o gradiente é o vetor nulo:
Agora calculamos as derivadas parciais de
. Derivando termo a termo:
Portanto
De maneira análoga, para
:
logo
Passo 3
Agora impomos o sistema das equações
Resolvendo:
Conclusão deste passo: há um único ponto crítico, que é ((4,3)].]
Passo 4
Explicação do teste da segunda derivada (didática): para funções de duas variáveis, calculam-se as segundas derivadas parciais no ponto crítico:
Define-se o discriminante (determinante da Hessiana)
Regra prática do teste:
- Se
e então temos mínimo local. - Se
e então temos máximo local. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Agora aplicamos isso ao nosso
. Calculamos as segundas derivadas (são constantes pois
é quadrática):
Logo
Temos
e
. Pelo critério acima, o ponto crítico
é um mínimo local.
Passo 5
Contextualização extra (útil para prova): como
é uma forma quadrática com Hessiana positiva definida (matriz Hessiana
é positiva definida), o mínimo local é na verdade mínimo global. Uma forma rápida para ver isso é completar quadrados:
Daí fica óbvio que o menor valor possível de
é
, alcançado em
.]
Resposta
(a)
(b) mínimo local (na verdade mínimo global)