Exercício 2. Seja
f(x, y)=\frac{x^{2}}{2}-4 x-3 y+\frac{y^{2}}{2}
a) ( \mathbf{5} pontos) Encontre os pontos críticos de f(x, y).
b) ( 5 pontos) Aplique o teste da segunda derivada para decidir se os pontos encontrados em (a) são de máximo ou mínimo local, ou pontos de sela.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\frac{x^{2}}{2}-4x-3y+\frac{y^{2}}{2}
e pede duas coisas:
  • (a) Encontrar os pontos críticos de f(x,y).
  • (b) Usar o teste da segunda derivada para decidir se cada ponto crítico é de máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de f(x,y) (já escrita acima).
  • Não há restrições no domínio: x e y variam livremente em \mathbb{R}.

Passo 2

O que é um ponto crítico (explicação didática): um ponto (x,y) é crítico quando as derivadas parciais primeiras existem e a derivada parcial em relação a cada variável é zero ali. Em termos compactos, é quando o gradiente é o vetor nulo:
\nabla f(x,y) = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\\ \frac{\partial f}{\partial y}\right) = (0,0).
Agora calculamos as derivadas parciais de f. Derivando termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x^{2}}{2}\right)=x,\qquad \frac{\partial}{\partial x}(-4x)=-4,\qquad \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{y^{2}}{2}\right)=0,\qquad \frac{\partial}{\partial x}(-3y)=0.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=x-4.
De maneira análoga, para y:
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{y^{2}}{2}\right)=y,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(-3y)=-3,\qquad \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{x^{2}}{2}\right)=0,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(-4x)=0,
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\frac{\partial f}{\partial y}=y-3.

Passo 3

Agora impomos o sistema das equações \frac{\partial f}{\partial x}=0\) e \(\frac{\partial f}{\partial y}=0\) para achar os pontos críticos: \[\begin{cases} x-4=0,\\[4pt] y-3=0. \end{cases}
Resolvendo:
x=4,\qquad y=3.
Conclusão deste passo: há um único ponto crítico, que é ((4,3)].]

Passo 4

Explicação do teste da segunda derivada (didática): para funções de duas variáveis, calculam-se as segundas derivadas parciais no ponto crítico:
f_{xx}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}},\qquad f_{yy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}},\qquad f_{xy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}.
Define-se o discriminante (determinante da Hessiana)
D=f_{xx}f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2}.
Regra prática do teste:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então temos mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então temos máximo local.
  • Se D<0 então é ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Agora aplicamos isso ao nosso f. Calculamos as segundas derivadas (são constantes pois f é quadrática):
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(x-4)=1, \qquad f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(y-3)=1, \qquad f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(x-4)=0.
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D=f_{xx}f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2}=1\cdot 1-0^{2}=1.
Temos D=1>0 e f_{xx}=1>0. Pelo critério acima, o ponto crítico (4,3) é um mínimo local.

Passo 5

Contextualização extra (útil para prova): como f é uma forma quadrática com Hessiana positiva definida (matriz Hessiana \begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&1\end{pmatrix} é positiva definida), o mínimo local é na verdade mínimo global. Uma forma rápida para ver isso é completar quadrados:
f(x,y)=\frac{(x-4)^{2}}{2}+\frac{(y-3)^{2}}{2}-\frac{25}{2}.
Daí fica óbvio que o menor valor possível de f é -\dfrac{25}{2}=-12{,}5, alcançado em (4,3).]

Resposta

(a) (4,3)
(b) mínimo local (na verdade mínimo global)

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