Exercício 1.3.2. Seja f(x, y)=ln (2 x+y-2).
a) Estime f(1,1).
b) Calcule f(1, e).
c) Determine D(f) e Im(f).
d) Esboce D(f) graficamente.
e) Obtenha as curvas de nível de f(x, y).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=lnl(2x+y-2r)
que é a composição de uma função linear L(x,y)=2x+y-2 com o logaritmo natural. Para resolver vamos
  1. avaliar f em pontos dados,
  2. encontrar o domínio exigido por ln,
  3. determinar a imagem de f,
  4. esboçar graficamente o domínio e
  5. obter as curvas de nível.

Passo 2

Para avaliar f basta substituir nos pontos:
a)
f(1,1)=lnl(2cdot1+1-2r)=ln(1)=0
b)
f(1,e)=lnl(2cdot1+e-2r)=ln(e)=1

Passo 3

O logaritmo natural exige argumento positivo, logo
D(f)=l(x,y)inR^2mid 2x+y-2>0r
Quanto à imagem, como 2x+y-2 pode variar de 0^+ a +infty, temos
Im(f)=(-infty,+infty)

Passo 4

A reta limite do domínio é dada por
2x+y-2=0;Long<=ftrightarrow;y=2-2x
No plano xy, essa reta intercepta o eixo y em (0,2) e o eixo x em (1,0). O domínio D(f) é o semiplano estrito acima dessa reta, pois queremos 2x+y-2>0.

Passo 5

As curvas de nível correspondem a valores constantes c de f:
ln(2x+y-2)=c ;Longrightarrow; 2x+y-2=e^c ;Longrightarrow; y=-2x+2+e^c
Cada c fixa uma reta de coeficiente angular -2 e intercepto 2+e^c.

Resposta

a) f(1,1)=0
b) f(1,e)=1
c)
D(f)=(x,y)inR^2mid 2x+y-2>0, Im(f)=(-infty,+infty)
d) Domínio: semiplano y>2-2x, isto é, acima da reta y=2-2x.
e) Curvas de nível: retas
y=-2x+2+e^c,
cada uma para um nível c.

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