Seja uma função diferenciável definida num aberto convexo. Mostre que
i) Para todo e , existe um ponto tal que .
ii) A seguinte igualdade é válida
iii) A desigualdade vale para todo se, e somente se, para todo .
iv) Suponha que . Logo se , então a função dada por é limitada.
Passo 1
O enunciado trata de uma função diferenciável
em um aberto convexo , e pede para demonstrar: . Uma versão do Teorema do Valor Médio multivariado para . . Que o supremo das razões incrementais de coincide com o supremo das normas de . . Equivalência entre e ser \nobreakdash-Lipschitz. . Que, se e , então fica limitado.
Vamos usar o Teorema do Valor Médio em uma curva parametrizada, a definição de norma de operador e argumentos de continuidade em conjunto com o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Prova de (i). Defina a aplicação unidimensional
Como é diferenciável e o traço fica em , é . Pelo Teorema do Valor Médio de uma variável, existe tal que
Basta então tomar .
Passo 3
Prova de (ii).
“”: para quaisquer , o passo anterior aplicado a , e genérico dá um ponto com
Fazendo supremum em obtemos
“”: dado , escolha unitário tal que . Para pequeno, ponha . Então
Logo o supremo sobre incrementos vale pelo menos !. Fazendo variar, obtemos a igualdade desejada.
Passo 4
Prova de (iii).
Pela parte (ii) sabemos que
Se para todo , então o supremo da razão incremental é , isto é, .
Reciprocamente, se é \nobreakdash-Lipschitz então o supremo da esquerda vale , logo , ou seja, .
Passo 5
Prova de (iv). Para cada considere a função
Então
Tomando norma,
Como tin[1,2], |x|t|x|<=1 e lim|x|toinftydf(t,x)(t,x)=0 (pois t,xtoinfty). Logo o integrando tende a zero uniformemente em t, o que implica |g(x)|to0 quando |x|toinfty. Finalmente, em x:|x|<= R o contínuo g é limitado, e fora desse compacto |g(x)| fica pequeno, logo g é limitada em R^m.
Resposta
As afirmações i), ii), iii) e iv) foram demonstradas.