Exercício 8 Sejam
e
conjuntos arbitrários e
uma função. Se
,
(a) mostre que
.
(b) mostre que
.
(c) Dê um exemplo para o qual a igualdade de conjuntos no item (b) não ocorre.
(a) mostre que
(b) mostre que
(c) Dê um exemplo para o qual a igualdade de conjuntos no item (b) não ocorre.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
e dois subconjuntos
. Precisamos usar a definição de imagem de conjunto
para mostrar:
– em (a) que a imagem de uma união é a união das imagens;
– em (b) que a imagem de uma interseção está contida na interseção das imagens;
– em (c) um exemplo onde a inclusão de (b) é estrita.
– em (a) que a imagem de uma união é a união das imagens;
– em (b) que a imagem de uma interseção está contida na interseção das imagens;
– em (c) um exemplo onde a inclusão de (b) é estrita.
Passo 2
Provar
.
- “
”: seja . Então existe com . Como , ou ou . No primeiro caso , no segundo . Logo . - “
”: seja . Então ou existe com , ou existe com . Em ambos os casos , logo .
Portanto.
Passo 3
Provar
.
Seja . Então existe
tal que
. Como
, temos
e
. Logo
e
, ou seja
.
Isso prova a inclusão desejada. A recíproca pode falhar porque um mesmo pode ser imagem de pontos distintos em
e em
, sem existir um ponto em
que o produza.
Seja
Isso prova a inclusão desejada. A recíproca pode falhar porque um mesmo
Passo 4
Exemplo onde a igualdade não ocorre em (b).
Defina
Defina
e escolha
,
.
Então
Então
enquanto
Fica claro que
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) Exemplo: ,
,
,
,
. Então
e
.
(b)
(c) Exemplo: