Exercício 8 Sejam X e Y conjuntos arbitrários e f: X Y uma função. Se A, B subset X,
(a) mostre que f(A cup B)=f(A) cup f(B).
(b) mostre que f(A cap B) subset f(A) cap f(B).
(c) Dê um exemplo para o qual a igualdade de conjuntos no item (b) não ocorre.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função fcolon Xto Y e dois subconjuntos A,Bsubset X. Precisamos usar a definição de imagem de conjunto
f(C)=,yin Ymid exists,xin C tal que f(x)=y
para mostrar:
– em (a) que a imagem de uma união é a união das imagens;
– em (b) que a imagem de uma interseção está contida na interseção das imagens;
– em (c) um exemplo onde a inclusão de (b) é estrita.

Passo 2

Provar f(Acup B)=f(A)cup f(B).
  1. subset”: seja yin f(Acup B). Então existe xin Acup B com f(x)=y. Como xin Acup B, ou xin A ou xin B. No primeiro caso yin f(A), no segundo yin f(B). Logo yin f(A)cup f(B).
  2. supset”: seja yin f(A)cup f(B). Então ou existe xin A com f(x)=y, ou existe xin B com f(x)=y. Em ambos os casos xin Acup B, logo yin f(Acup B).
    Portanto ,f(Acup B)=f(A)cup f(B).

Passo 3

Provar f(Acap B)subset f(A)cap f(B).
Seja yin f(Acap B). Então existe xin Acap B tal que f(x)=y. Como xin Acap B, temos xin A e xin B. Logo yin f(A) e yin f(B), ou seja yin f(A)cap f(B).
Isso prova a inclusão desejada. A recíproca pode falhar porque um mesmo y pode ser imagem de pontos distintos em A e em B, sem existir um ponto em Acap B que o produza.

Passo 4

Exemplo onde a igualdade não ocorre em (b).
Defina
X=1,2, Y=a, f(1)=a,;f(2)=a,
e escolha A=1, B=2.
Então
Acap B=varnothing, f(Acap B)=varnothing,
enquanto
f(A)=a, f(B)=aLongrightarrow f(A)cap f(B)=a
Fica claro que
f(Acap B)=varnothing;subsetneq;a=f(A)cap f(B)

Resposta

(a) f(Acup B)=f(A)cup f(B).
(b) f(Acap B)subset f(A)cap f(B).
(c) Exemplo: X=1,2, Y=a, f(1)=f(2)=a, A=1, B=2. Então f(Acap B)=varnothing e f(A)cap f(B)=a.

Exercícios relacionados