Exercicio 4 Seja a função
. Mostre que existe uma solução real da equação
no intervalo [1, 2].
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos mostrar que existe uma solução real para a equação
no intervalo [1, 2]. Isso está relacionado ao conceito de Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a determinar a existência de raízes em determinados intervalos.
Passo 2
Vamos começar avaliando a função
nos extremos do intervalo dado, ou seja, em
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 3
Agora, observamos os valores de
nos pontos extremos:
-
(negativo) -
(positivo)
Isso significa que a função muda de sinal ao passar de
para
.
Passo 4
Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função é contínua em um intervalo fechado [a, b] e assume valores de sinais opostos nos extremos desse intervalo, então existe pelo menos um número
em (a, b) tal que
.
Passo 5
A função
é um polinômio, e sabemos que polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio. Portanto, podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário.
Resposta
Concluímos que, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma solução real para a equação
no intervalo [1, 2].