Exercicio 4 Seja a função f(x)=x^3-x-2. Mostre que existe uma solução real da equação f(x)=0 no intervalo [1, 2].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função f(x) = x^3 - x - 2 e precisamos mostrar que existe uma solução real para a equação f(x) = 0 no intervalo [1, 2]. Isso está relacionado ao conceito de Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a determinar a existência de raízes em determinados intervalos.

Passo 2

Vamos começar avaliando a função f(x) nos extremos do intervalo dado, ou seja, em x = 1 e x = 2 .
Calculando f(1) :
f(1) = (1)^3 - 1 - 2 = 1 - 1 - 2 = -2
Calculando f(2) :
f(2) = (2)^3 - 2 - 2 = 8 - 2 - 2 = 4

Passo 3

Agora, observamos os valores de f(x) nos pontos extremos:
  • f(1) = -2 (negativo)
  • f(2) = 4 (positivo)
Isso significa que a função muda de sinal ao passar de x = 1 para x = 2 .

Passo 4

Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função é contínua em um intervalo fechado [a, b] e assume valores de sinais opostos nos extremos desse intervalo, então existe pelo menos um número c em (a, b) tal que f(c) = 0 .

Passo 5

A função f(x) = x^3 - x - 2 é um polinômio, e sabemos que polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio. Portanto, podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário.

Resposta

Concluímos que, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma solução real para a equação f(x) = 0 no intervalo [1, 2].

Exercícios relacionados