Exercício 4. Seja g(x, y)=phi(xy) a função do exercício anterior. Verifique que
x partial gpartial x(x, y)+y partial gpartial y(x, y)=0
para todo (x, y) in R^2, com y neq 0.

Passo 1

O enunciado define
g(x,y)=phi!l(tfracxyr)
e pede para mostrarmos que
x,partial gpartial x(x,y)+y,partial gpartial y(x,y)=0
para todo (x,y) com yneq0.
O conteúdo principal aqui é aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais de uma função composta.

Passo 2

Vamos calcular partial gpartial x. Como
g(x,y)=phi!l(ur) com u=xy,
pela regra da cadeia
partial gpartial x =phi'!l(ur),partial upartial x =phi'!l(tfracxyr)cdot1y

Passo 3

Agora calculamos partial gpartial y. Ainda com u=x/y,
partial gpartial y =phi'!l(ur),partial upartial y =phi'!l(tfracxyr)cdotl(-tfracxy^2r) =-xy^2,phi'!l(tfracxyr)

Passo 4

Formamos a combinação solicitada:
x,partial gpartial x +y,partial gpartial y =x!(phi'!l(tfracxyr),1y) +y!(-xy^2,phi'!l(tfracxyr))
Colocando phi'(tfracxy) em evidência,
x,1y-y,xy^2 =xy-xy=0,
logo toda a soma é zero.

Resposta

x,partial gpartial x(x,y)+y,partial gpartial y(x,y)=0

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