Resolva os problemas de valor inicial:
y^prime prime+4 y=t^2+3 e^t, y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 4y = t^2 + 3e^t, y(0)=0,;y'(0)=0
O conteúdo envolve resolver a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois um particular por método dos palpites (método dos coeficientes a determinar).

Passo 2

Estudamos a homogênea
y'' + 4y = 0
A equação característica é
lambda^2 + 4 = 0
cuja raízes são lambda = pm 2,i. Logo a solução geral da homogênea é
yc(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t)

Passo 3

Procuramos um particular yp1 para a parte polinomial t^2. Fazemos o palpite
yp1(t) = a,t^2 + b,t + c
Então
yp1'(t) = 2a,t + b, yp1''(t) = 2a
Substituindo em y''+4y = t^2 resulta
2a + 4l(a,t^2 + b,t + cr) = t^2
Isto dá o sistema
4a = 1, 4b = 0, 2a + 4c = 0,
cuja solução é
a = tfrac14, b = 0, c = -tfrac18
Portanto
yp1(t) = tfrac14,t^2 - tfrac18

Passo 4

Agora o particular yp2 para 3e^t. Fazemos o palpite
yp2(t) = D,e^t
Então
yp2'' + 4yp2 = D,e^t + 4D,e^t = 5D,e^t
deve ser igual a 3e^t. Logo 5D = 3 e
D = tfrac35
Assim
yp2(t) = tfrac35,e^t

Passo 5

A solução geral da não homogênea é
y(t) = yc(t) + yp1(t) + yp2(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t) + tfrac14,t^2 - tfrac18 + tfrac35,e^t

Passo 6

Impondo y(0)=0:
y(0) = C1cos0 + C2sin0 + 0 - tfrac18 + tfrac35 = C1 - tfrac18 + tfrac35 = 0
implies C1 = tfrac18 - tfrac35 = -tfrac1940
Em seguida y'(t) = -2C1sin(2t) + 2C2cos(2t) + tfrac12,t + tfrac35,e^t. Então
y'(0) = -2C1cdot0 + 2C2cdot1 + 0 + tfrac35 = 2C2 + tfrac35 = 0
implies C2 = -tfrac310

Resposta

boxedy(t) = -tfrac1940cos(2t);-;tfrac310sin(2t);+;tfrac14,t^2;-;tfrac18;+;tfrac35,e^t

Exercícios relacionados