Usando a transformada de Laplace, resolva os PVI’s abaixo
y^prime prime+4 y=t^2+3 e^t, y(0)=1 ; y^prime(0)=2

Passo 1

Temos o problema de valor inicial
y''(t)+4,y(t)=t^2+3e^t, y(0)=1,;y'(0)=2
O conteúdo é transformada de Laplace e frações parciais. Vamos chamar Y(s)=Ly(t).

Passo 2

Aplico a transformada de Laplace nos dois lados, usando
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0). Obtenho
l(s^2Y(s)-scdot1-2r)+4Y(s) =Lt^2+3,Le^t =2s^3+3s-1

Passo 3

Reúno termos em Y(s):
Y(s)(s^2+4)=2s^3+3s-1+s+2,
logo
Y(s)=2s^3(s^2+4)+3(s-1)(s^2+4)+s+2s^2+4

Passo 4

Vamos inverter cada parcela separadamente:
  1. 2s^3(s^2+4),
  2. 3(s-1)(s^2+4),
  3. s+2s^2+4

Passo 5

Para a parcela 2s^3(s^2+4) faço frações parciais
2s^3(s^2+4) =As+Bs^2+Cs^3+Ds+Es^2+4
Resolver dá
A=-tfrac18,;B=0,;C=tfrac12,;D=tfrac18,;E=0

Passo 6

Inverto a primeira parcela:
-tfrac181sto -tfrac18, tfrac121s^3to tfrac12cdott^22=t^24, tfrac18ss^2+4to tfrac18cos(2t)
Logo
L^-1!l2s^3(s^2+4)r =-tfrac18+t^24+tfrac18cos(2t)

Passo 7

Para 3(s-1)(s^2+4) uso
3(s-1)(s^2+4)=3/5s-1+-3/5,s-3/5s^2+4,
e inverto:
3/5s-1to 35e^t, -3/5,ss^2+4to -35cos(2t), -3/5s^2+4to -310sin(2t)
A última parcela s+2s^2+4 inverte em
cos(2t)+sin(2t).

Passo 8

Somando tudo:
y(t) =l(-tfrac18+t^24+tfrac18cos(2t)r) +l(tfrac35e^t-tfrac35cos(2t)-tfrac310sin(2t)r) +l(cos(2t)+sin(2t)r)
Agrupando termos semelhantes resulta
y(t) =t^24-18+2140cos(2t)+710sin(2t)+35e^t

Resposta

y(t)=t^24-18+2140cos(2t)+710sin(2t)+35e^t

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