Questão 1) (2,0) Calcule a integral dupla integral0^27 integralx^1 / 3^3 2 cos (y^4) d y d x. Esboce a região de integração.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^27!integralx^1/3^32cosl(y^4r),dy,dx
e esboçar a região de integração. O conteúdo utilizado será a troca da ordem de integração (Teorema de Fubini) e uma substituição simples em uma integral de variável única.

Passo 2

Definimos a região
R=(x,y)mid 0<= x<=27,;x^1/3<= y<=3
No plano xy isso é o conjunto de pontos acima da curva y=x^1/3, abaixo da reta y=3 e à direita do eixo x=0. O esboço de R mostra a curva x=y^3 invertida e as retas y=3 e x=0.

Passo 3

Para trocar a ordem, analisamos os extremos em y: como y vai de x^1/3 até 3 com 0<= x<=27, segue que
0<= y<=3, 0<= x<= y^3
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integral0^27!integralx^1/3^32cosl(y^4r),dy,dx = integral0^3!integral0^y^32cosl(y^4r),dx,dy

Passo 4

Integramos em x:
integral0^y^32cosl(y^4r),dx =2cosl(y^4r),l[xr]0^y^3 =2,y^3cosl(y^4r)
Assim a integral fica
integral0^32,y^3cosl(y^4r),dy

Passo 5

Fazemos a substituição
u=y^4, du=4,y^3dy ;Longrightarrow; y^3dy=du4
Então
integral0^32,y^3cosl(y^4r),dy =integralu=0^812cos(u)cdotdu4 =12integral0^81cos(u),du =12l[sin(u)r]0^81 =12sinl(81r)

Resposta

12sinl(81r)

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