Exercício 1. Seja I subseteq R um intervalo aberto. Mostre que f: I longrightarrow R é convexa se, e somente se, para quaisquer a<x<b contidos em I, temos
f(x)-f(a)x-a <= f(b)-f(a)b-a <= f(b)-f(x)b-x
Além disso:
(i) Interprete (1) geometricamente.
(ii) Utilize (1) para provar diretamente que f é uma função localmente de Lipschitz em I.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma função fcolon ItoR em um intervalo aberto IsubseteqR é convexa se, e somente se, para quaisquer a<x<b em I valem as desigualdades
f(x)-f(a)x-a;<=;f(b)-f(a)b-a;<=;f(b)-f(x)b-x tag1
Depois, (i) devemos dar a interpretação geométrica de ( 1) e (ii) usar ( 1) para mostrar que f é localmente Lipschitz em I.

Passo 2

Suponha f convexa e fixe a<x<b. A reta-secante entre (a,f(a)) e (b,f(b)) é
L(t)=f(a)+f(b)-f(a)b-a,(t-a)
Pela convexidade, o gráfico de f fica abaixo de toda secante, logo
f(x)<= L(x)
Mas
L(x) =;f(a)+f(b)-f(a)b-a,(x-a),
de onde
f(x)-f(a);<=;(x-a),f(b)-f(a)b-a ;implies; f(x)-f(a)x-a<=f(b)-f(a)b-a
Por outro lado, também
L(x) =;f(b)-f(b)-f(a)b-a,(b-x),
de onde
f(x)<= f(b)-f(b)-f(a)b-a,(b-x) ;implies; f(b)-f(a)b-a<=f(b)-f(x)b-x
Assim obtemos toda a cadeia em ( 1).

Passo 3

Agora suponha que para todo a<x<b em I valha ( 1). Em particular, a primeira desigualdade em ( 1) dá
f(x)-f(a)x-a<=f(b)-f(a)b-a ;implies; f(x)-f(a)<=(x-a),f(b)-f(a)b-a ;implies; f(x)<= L(x),
com L(t) definida como em cima. Mas f(x)<= L(x) para todo xin(a,b) é exatamente a condição de convexidade de f em [a,b]. Como a e b eram quaisquer em I, conclui-se que f é convexa em I.

Passo 4

Geométricamente, ( 1) diz que, à medida que escolhemos pontos a<x<b, os coeficientes angulares (“inclinações”) das três secantes
— de a a x, de a a b e de x a b
são não decrescentes. Em outras palavras, as retas-secante “giram” de forma monótona, e o gráfico de f fica sempre por baixo de cada uma delas.

Passo 5

Para mostrar que f é localmente Lipschitz, tome x0in I e escolha de<a>0 tal que [u,v]subset I onde u=x0-de<a e v=x0+de<a. Para quaisquer a,bin[u,v] com a<b, aplicando ( 1) temos
f(b)-f(a)b-a<=maxlf(v)-f(u)v-u,;-f(v)-f(u)v-ur =:;L
Analogamente, trocando a e b, obtém-se f(a)-f(b)a-b<= L. Logo
|f(b)-f(a)|<= L,|b-a|
para todo a,bin[u,v]. Isso mostra que f é Lipschitz em [u,v] e, como x0 foi arbitrário, f é localmente Lipschitz em I.

Resposta

Mostrou-se a equivalência entre convexidade e a cadeia de inclinações em (1), deu-se sua interpretação geométrica (inclina\c{c}~oes de secantes não decrescentes e gráfico abaixo das secantes) e, finalmente, usou-se (1) para concluir que f é localmente Lipschitz em I.

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