com L(t) definida como em cima. Mas f(x)<= L(x) para todo xin(a,b) é exatamente a condição de convexidade de f em [a,b]. Como a e b eram quaisquer em I, conclui-se que f é convexa em I.
Passo 4
Geométricamente, (1) diz que, à medida que escolhemos pontos a<x<b, os coeficientes angulares (“inclinações”) das três secantes
— de a a x, de a a b e de x a b —
são não decrescentes. Em outras palavras, as retas-secante “giram” de forma monótona, e o gráfico de f fica sempre por baixo de cada uma delas.
Passo 5
Para mostrar que f é localmente Lipschitz, tome x0in I e escolha de<a>0 tal que [u,v]subset I onde u=x0-de<a e v=x0+de<a. Para quaisquer a,bin[u,v] com a<b, aplicando (1) temos
Analogamente, trocando a e b, obtém-se f(a)-f(b)a-b<= L. Logo
|f(b)-f(a)|<= L,|b-a|
para todo a,bin[u,v]. Isso mostra que f é Lipschitz em [u,v] e, como x0 foi arbitrário, f é localmente Lipschitz em I.
Resposta
Mostrou-se a equivalência entre convexidade e a cadeia de inclinações em (1), deu-se sua interpretação geométrica (inclina\c{c}~oes de secantes não decrescentes e gráfico abaixo das secantes) e, finalmente, usou-se (1) para concluir que f é localmente Lipschitz em I.