( 2.50 pontos) Encontre a soluçāo particular do seguinte problema de valor inicial:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}=2 e^{2 x} \\ y(0)=0, \\ y^{\prime}(0)=0 . \end{array}\right.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • O problema de valor inicial é
\left\{\begin{array}{l} y''-2y'=2e^{2x},\\[4pt] y(0)=0,\\[2pt] y'(0)=0. \end{array}\right.
  • Pergunta-se: encontrar a solução particular do problema de valor inicial (ou seja, a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais).
  • Informações úteis fornecidas: a equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes; o termo não-homogêneo é 2e^{2x}.]

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada para obter a solução geral da homogênea.
  • A equação homogênea é
y''-2y'=0.
  • Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo,
r^2 e^{rx} - 2 r e^{rx}=0 \quad\Rightarrow\quad e^{rx}(r^2-2r)=0.
  • Como e^{rx}\neq0, obtemos a equação característica
r^2-2r=0.
  • Resolve-se r(r-2)=0, logo as raízes são r=0 e r=2 (duas raízes reais distintas).
  • Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1 e^{0\cdot x}+C_2 e^{2x}=C_1 + C_2 e^{2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
(Aqui uma explicação curta do procedimento: a técnica do polinômio característico transforma a ODE homogênea numa equação algébrica em r. Cada raiz r gera uma solução e^{rx}; se uma raiz for múltipla, multiplica-se por potências de x.)

Passo 3

Escolher um método para obter uma solução particular y_p da equação não-homogênea.
  • O termo não-homogêneo é 2e^{2x}, que é um múltiplo de e^{ax} com a=2. Para termos do tipo P(x)e^{ax} (onde P é polinômio), o método de coeficientes a determinar (método das tentativas) sugere tentar um y_p da forma x^s Q(x)e^{ax}, onde:
    • Q(x) é um polinômio com o mesmo grau de P;
    • s é o menor inteiro não negativo tal que nenhuma das soluções de y_h contenha x^k e^{ax} com k<s.
  • Aqui P(x) é a constante 2 (grau 0) e a=2. Mas e^{2x} já aparece na solução homogênea ( C_2 e^{2x}), isto é, há ressonância com multiplicidade 1 da raiz r=2. Assim devemos multiplicar por x (ou seja, s=1).
  • Logo tentamos um particular da forma
y_p(x)=A x e^{2x},
onde A é constante a determinar.

Passo 4

Calcular y_p' e y_p'' de forma detalhada (aplicar regra do produto).
  • Começando por y_p(x)=A x e^{2x}.
  • Derivando (regra do produto: (uv)'=u'v+uv'):
y_p'(x)=A\big(1\cdot e^{2x} + x\cdot 2e^{2x}\big)=A e^{2x}(1+2x).
  • Derivando novamente:
y_p''(x)=A\frac{d}{dx}\big(e^{2x}(1+2x)\big)=A\big(2e^{2x}(1+2x)+e^{2x}\cdot 2\big).
Aqui usei que (e^{2x})'=2e^{2x} e (1+2x)'=2. Simplificando:
y_p''(x)=A e^{2x}\big(2(1+2x)+2\big)=A e^{2x}(2+4x+2)=A e^{2x}(4+4x).

Passo 5

Substituir y_p, y_p', y_p'' na equação diferencial para determinar A.
  • A equação pede y''-2y'=2e^{2x}. Substituindo y_p:
y_p''-2y_p' = A e^{2x}(4+4x) - 2\cdot\big(A e^{2x}(1+2x)\big).
  • Fatorando A e^{2x}:
y_p''-2y_p' = A e^{2x}\big(4+4x -2 -4x\big)=A e^{2x}\cdot 2 = 2A e^{2x}.
  • Queremos que y_p satisfaça a equação não-homogênea, isto é:
2A e^{2x}=2 e^{2x}.
  • Como e^{2x}\neq0, segue 2A=2, logo
A=1.
Portanto um particular é
y_p(x)=x e^{2x}.

Passo 6

Escrever a solução geral da equação não-homogênea (geral = homogênea + particular).
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1 + C_2 e^{2x} + x e^{2x}.

Passo 7

Usar as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
  • Primeiro calcule y(0). Como e^{0}=1:
y(0)=C_1 + C_2\cdot 1 + 0\cdot 1 = C_1 + C_2.
A condição y(0)=0
C_1 + C_2 = 0. \quad(1)
  • Agora calcule y'(x). Derivando a solução geral:
y'(x)=0 + C_2\cdot 2 e^{2x} + \frac{d}{dx}(x e^{2x}).
Já sabemos da etapa anterior que \dfrac{d}{dx}(x e^{2x})=e^{2x}(1+2x). Assim
y'(x)=2C_2 e^{2x} + e^{2x}(1+2x)=e^{2x}\big(2C_2 + 1 + 2x\big).
  • Avaliando em x=0:
y'(0)=1\cdot(2C_2 + 1 + 0)=2C_2 + 1.
A condição y'(0)=0
2C_2 + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_2 = -\tfrac{1}{2}. \quad(2)
  • Usando (1), C_1 = -C_2 = \tfrac{1}{2}.

Passo 8

Escrever a solução particular do problema de valor inicial (solução única que satisfaz as condições).
Substituindo C_1=\tfrac{1}{2} e C_2=-\tfrac{1}{2} em
y(x)=C_1 + C_2 e^{2x} + x e^{2x},
obtemos
y(x)=\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{2} e^{2x} + x e^{2x}.
Uma forma combinada, às vezes mais bonita, é
y(x)=\tfrac{1}{2} + e^{2x}\Big(x-\tfrac{1}{2}\Big).

Resposta

y(x)=\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{2} e^{2x} + x e^{2x}

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