Pergunta-se: encontrar a solução particular do problema de valor inicial (ou seja, a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais).
Informações úteis fornecidas: a equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes; o termo não-homogêneo é 2e^{2x}.]
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada para obter a solução geral da homogênea.
A equação homogênea é
y''-2y'=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo,
r^2 e^{rx} - 2 r e^{rx}=0 \quad\Rightarrow\quad e^{rx}(r^2-2r)=0.
Como e^{rx}\neq0, obtemos a equação característica
r^2-2r=0.
Resolve-se r(r-2)=0, logo as raízes são r=0 e r=2 (duas raízes reais distintas).
(Aqui uma explicação curta do procedimento: a técnica do polinômio característico transforma a ODE homogênea numa equação algébrica em r. Cada raiz r gera uma solução e^{rx}; se uma raiz for múltipla, multiplica-se por potências de x.)
Passo 3
Escolher um método para obter uma solução particular y_p da equação não-homogênea.
O termo não-homogêneo é 2e^{2x}, que é um múltiplo de e^{ax} com a=2. Para termos do tipo P(x)e^{ax} (onde P é polinômio), o método de coeficientes a determinar (método das tentativas) sugere tentar um y_p da forma x^s Q(x)e^{ax}, onde:
Q(x) é um polinômio com o mesmo grau de P;
s é o menor inteiro não negativo tal que nenhuma das soluções de y_h contenha x^k e^{ax} com k<s.
Aqui P(x) é a constante 2 (grau 0) e a=2. Mas e^{2x} já aparece na solução homogênea (C_2 e^{2x}), isto é, há ressonância com multiplicidade 1 da raiz r=2. Assim devemos multiplicar por x (ou seja, s=1).
Logo tentamos um particular da forma
y_p(x)=A x e^{2x},
onde A é constante a determinar.
Passo 4
Calcular y_p' e y_p'' de forma detalhada (aplicar regra do produto).