Exercício 4. Seja k \in \mathbb{N} um natural. Considere a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{(k n)!} .
(a) Estude a convergência da série em função de k, isto é, dado k= 0,1,2, \ldots, decida se a série obtida é convergente ou divergente.
(b) Considere a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2} x^{n}}{(k n)!}
Calcule o raio de convergência como função de k, R=R(k) e o intervalo de convergência para cada R(k).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Estudar a convergência da série numérica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{(k n)!}
para cada k\in\mathbb{N}\cup\{0\}.
2. Calcular o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2}x^{n}}{(k n)!}.
O conteúdo necessário é o teste da razão de d’Alembert para séries numéricas e para séries de potências, além de estimar o comportamento assintótico de fatoriais.

Passo 2

Seja
a_n = \frac{(n!)^2}{(kn)!}.
Aplicando o teste da razão, calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{((n+1)!)^2}{(k(n+1))!}\,\frac{(kn)!}{(n!)^2} = \frac{(n+1)^2}{(kn+1)(kn+2)\cdots(kn+k)}.
Para n\to\infty, o denominador tem k fatores todos asymptoticamente \sim kn, logo
(kn+1)\cdots(kn+k)\sim (kn)^k,
e
\frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{(n+1)^2}{(kn)^k}.

Passo 3

Com base no comportamento assintótico
  • Se k=0, então a_n=(n!)^2 cresce muito e a série diverge.
  • Se k=1, temos \frac{a_{n+1}}{a_n}\sim n+1\to\infty, logo diverge.
  • Se k=2, \frac{a_{n+1}}{a_n}\sim \frac{n^2}{(2n)^2}=\tfrac14<1 para n grande, então converge.
  • Se k\ge3, \frac{a_{n+1}}{a_n}\sim n^{2-k}\to0<1, então converge.
Portanto a série numérica converge exatamente para k\ge2 e diverge para k=0,1.

Passo 4

Agora considere a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} b_n,\quad b_n=\frac{(n!)^2}{(kn)!}x^n.
Pelo teste da razão para séries de potências,
\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| =\frac{a_{n+1}}{a_n}\,\lvert x\rvert \sim \frac{(n+1)^2}{(kn)^k}\,\lvert x\rvert.
O raio de convergência R é o valor de \lvert x\rvert que torna o limite dessa razão igual a 1.

Passo 5

Analisando caso a caso:
  • Para k\ge3, a razão tende a 0\cdot\lvert x\rvert=0<1 para todo x, logo R=\infty.
  • Para k=2, a razão tende a \tfrac14\lvert x\rvert, e impomos \tfrac14\lvert x\rvert<1, o que dá \lvert x\rvert<4. Assim R=4. Nos extremos x=\pm4, o termo geral vale
b_n=\frac{(n!)^2(\pm4)^n}{(2n)!} =\frac{(\pm1)^n4^n}{\binom{2n}{n}} \sim (\pm1)^n\sqrt{\pi n},
cujo módulo não tende a zero, logo diverge em x=4 e x=-4. O intervalo de convergência é (-4,4).
  • Para k=1, a razão tende a \infty sempre que x\neq0, logo R=0. Converge apenas em x=0.
  • Para k=0, de modo análogo, R=0 e só converge trivialmente em x=0.

Resposta

(a) A série \sum_{n=1}^\infty\frac{(n!)^2}{(kn)!} diverge para k=0,1 e converge para todo k\ge2.
(b) O raio de convergência R(k) e o intervalo de convergência são:
- Para k=0 ou k=1: R=0, só converge em x=0.
- Para k=2: R=4, intervalo de convergência (-4,4).
- Para k\ge3: R=\infty, converge para todo x.

Exercícios relacionados