Exercício 4. Seja k \in \mathbb{N} um natural. Considere a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{(k n)!} .
(a) Estude a convergência da série em função de k, isto é, dado k= 0,1,2, \ldots, decida se a série obtida é convergente ou divergente.
(b) Considere a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2} x^{n}}{(k n)!}
Calcule o raio de convergência como função de k, R=R(k) e o intervalo de convergência para cada R(k).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Estudar a convergência da série numérica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{(k n)!}
para cada k\in\mathbb{N}\cup\{0\}.
2. Calcular o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2}x^{n}}{(k n)!}.
O conteúdo necessário é o teste da razão de d’Alembert para séries numéricas e para séries de potências, além de estimar o comportamento assintótico de fatoriais.
O raio de convergência R é o valor de \lvert x\rvert que torna o limite dessa razão igual a 1.
Passo 5
Analisando caso a caso:
Para k\ge3, a razão tende a 0\cdot\lvert x\rvert=0<1 para todo x, logo R=\infty.
Para k=2, a razão tende a \tfrac14\lvert x\rvert, e impomos \tfrac14\lvert x\rvert<1, o que dá \lvert x\rvert<4. Assim R=4. Nos extremos x=\pm4, o termo geral vale
cujo módulo não tende a zero, logo diverge em x=4 e x=-4. O intervalo de convergência é (-4,4).
Para k=1, a razão tende a \infty sempre que x\neq0, logo R=0. Converge apenas em x=0.
Para k=0, de modo análogo, R=0 e só converge trivialmente em x=0.
Resposta
(a) A série \sum_{n=1}^\infty\frac{(n!)^2}{(kn)!} diverge para k=0,1 e converge para todo k\ge2.
(b) O raio de convergência R(k) e o intervalo de convergência são:
- Para k=0 ou k=1: R=0, só converge em x=0.
- Para k=2: R=4, intervalo de convergência (-4,4).
- Para k\ge3: R=\infty, converge para todo x.