Exercício 1. Estude a convergência ou divergência das séries abaixo: Classifiqueas em absoluta ou condicionalmente convergente.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \cos \left(\frac{1}{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\cos\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)
e, caso convergente, verificar se é absolutamente ou apenas condicionalmente convergente.

Passo 2

Verificamos o termo geral
a_{n}=(-1)^{n}\cos\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)
e calculamos seu limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}(-1)^{n}\cos\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr) =(-1)^{n}\cdot1,
pois \cos\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)\to\cos(0)=1. Logo, a_{n} não tende a zero (oscila entre +1 e -1).

Passo 3

Como condição necessária para a convergência de uma série é
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0,
e aqui esse limite não é zero, concluímos imediatamente que a série diverge. Sendo divergente, não se qualifica nem como absolutamente nem como condicionalmente convergente.

Resposta

A série diverge.

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