Exercício 1. Estude a convergência ou divergência das séries abaixo: Classifiqueas em absoluta ou condicionalmente convergente. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\sqrt{n^{2}-1}}{n^{2}+3}
verificando (i) se ela converge ou diverge e (ii) se é absolutamente convergente ou apenas condicionalmente convergente. Vamos usar o teste de convergência absoluta e, depois, o teste de Leibniz para séries alternadas.
Como \sum1/n diverge (série harmônica), por comparação limite segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n^{2}-1}}{n^{2}+3}
também diverge. Logo, a série original não é absolutamente convergente.
Passo 3
Teste de Leibniz (série alternada). Defina
a_{n}=\frac{\sqrt{n^{2}-1}}{n^{2}+3},
então a série é \sum(-1)^{n}a_{n}. Precisamos de:
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
Como vimos acima, a_{n}\sim1/n, logo \lim a_{n}=0.
a_{n} eventualmente decrescente.
Considere a função
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}+3},\quad x\ge1.
Calculando a derivada, obtém-se para x\ge3
f'(x)<0,
ou seja, f (e portanto a_{n}=f(n)) é decrescente para n\ge3.
Pelo teste de Leibniz, a série \sum(-1)^{n}a_{n} converge.
Passo 4
Conclusão: a série converge pelo teste de Leibniz, mas não converge absolutamente (diverge a série de termos positivos). Portanto, ela é condicionalmente convergente.