Exercício 1. Estude a convergência ou divergência das séries abaixo: Classifiqueas em absoluta ou condicionalmente convergente.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\sqrt{n^{2}-1}}{n^{2}+3}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\sqrt{n^{2}-1}}{n^{2}+3}
verificando (i) se ela converge ou diverge e (ii) se é absolutamente convergente ou apenas condicionalmente convergente. Vamos usar o teste de convergência absoluta e, depois, o teste de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Teste de convergência absoluta. Considere
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\;(-1)^{n}\frac{\sqrt{n^{2}-1}}{n^{2}+3}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n^{2}-1}}{n^{2}+3}.
Para ver o comportamento assintótico, note que
\frac{\sqrt{n^{2}-1}}{n^{2}+3} =\frac{n\sqrt{1-\frac1{n^{2}}}}{n^{2}\bigl(1+\frac3{n^{2}}\bigr)} =\frac{1}{n}\,\frac{\sqrt{1-\frac1{n^{2}}}}{1+\frac3{n^{2}}} \sim \frac{1}{n} \quad\text{quando }n\to\infty.
Como \sum1/n diverge (série harmônica), por comparação limite segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n^{2}-1}}{n^{2}+3}
também diverge. Logo, a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Teste de Leibniz (série alternada). Defina
a_{n}=\frac{\sqrt{n^{2}-1}}{n^{2}+3},
então a série é \sum(-1)^{n}a_{n}. Precisamos de:
  1. \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
    Como vimos acima, a_{n}\sim1/n, logo \lim a_{n}=0.
  2. a_{n} eventual­mente decrescente.
    Considere a função
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}+3},\quad x\ge1.
Calculando a derivada, obtém-se para x\ge3
f'(x)<0,
ou seja, f (e portanto a_{n}=f(n)) é decrescente para n\ge3.
Pelo teste de Leibniz, a série \sum(-1)^{n}a_{n} converge.

Passo 4

Conclusão: a série converge pelo teste de Leibniz, mas não converge absolutamente (diverge a série de termos positivos). Portanto, ela é condicionalmente convergente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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