Serão fabricados silos de grãos de aço inoxidável, cada um com um volume de
. Eles descansarão sobre uma base de concreto e consistirão em uma parede cilíndrica e um topo hemisférico. Um hemisfério de aço inoxidável custa três vezes mais por unidade de área para fabricar que um cilindro. Encontre o raio do cilindro que irá minimizar o custo de fabricação.
Passo 1
O enunciado pede o raio
que minimiza o custo de um silo formado por um cilindro (altura
) e um topo hemisférico, sabendo que o volume total é
e que o custo por unidade de área do hemisfério é o triplo do do cilindro.
Passo 2
Vamos montar a função custo. Seja
o custo por área do cilindro.
– Área lateral do cilindro: , logo custo
.
– Área do hemisfério: , logo custo
.
Assim o custo total é
– Área lateral do cilindro:
– Área do hemisfério:
Assim o custo total é
Para achar o
que minimiza, podemos trabalhar com
(tirando o fator constante
).
Passo 3
Usamos a restrição de volume para eliminar
. Da
vem
Passo 4
Substituindo
em
:
Passo 5
Para minimizar, calculamos a derivada de
e igualamos a zero:
Como
, isso realmente dá mínimo.