Serão fabricados silos de grãos de aço inoxidável, cada um com um volume de 2000 \mathrm{~m}^{3}. Eles descansarão sobre uma base de concreto e consistirão em uma parede cilíndrica e um topo hemisférico. Um hemisfério de aço inoxidável custa três vezes mais por unidade de área para fabricar que um cilindro. Encontre o raio do cilindro que irá minimizar o custo de fabricação.

Passo 1

O enunciado pede o raio r que minimiza o custo de um silo formado por um cilindro (altura h) e um topo hemisférico, sabendo que o volume total é
\pi r^2 h \;+\;\tfrac{2}{3}\pi r^3 \;=\;2000
e que o custo por unidade de área do hemisfério é o triplo do do cilindro.

Passo 2

Vamos montar a função custo. Seja k o custo por área do cilindro.
– Área lateral do cilindro: 2\pi r h, logo custo C_{\rm cil}=k\cdot2\pi r h.
– Área do hemisfério: 2\pi r^2, logo custo C_{\rm hemi}=3k\cdot2\pi r^2.
Assim o custo total é
C = k\bigl(2\pi r h + 6\pi r^2\bigr).
Para achar o r que minimiza, podemos trabalhar com
\widetilde C(r,h)=2\pi r h + 6\pi r^2
(tirando o fator constante k).

Passo 3

Usamos a restrição de volume para eliminar h. Da
\pi r^2 h + \tfrac{2}{3}\pi r^3 = 2000
vem
h \;=\;\frac{2000 - \tfrac{2}{3}\pi r^3}{\pi r^2} \;=\;\frac{2000}{\pi r^2}\;-\;\tfrac{2}{3}\,r.

Passo 4

Substituindo h em \widetilde C(r,h):
\widetilde C(r) =2\pi r\Bigl(\frac{2000}{\pi r^2}-\tfrac{2}{3}r\Bigr) +6\pi r^2 = \frac{4000}{r} \;-\;\frac{4}{3}\pi r^2 \;+\;6\pi r^2 = \frac{4000}{r} \;+\;\frac{14}{3}\pi r^2.

Passo 5

Para minimizar, calculamos a derivada de \widetilde C(r) e igualamos a zero:
\widetilde C'(r) =-\frac{4000}{r^2} \;+\;\frac{28}{3}\pi r \;\stackrel{!}{=}\;0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{28}{3}\pi r^3 = 4000 \quad\Longrightarrow\quad r^3 = \frac{4000\cdot3}{28\pi} = \frac{3000}{7\pi}.
Como \widetilde C''(r)>0, isso realmente dá mínimo.

Resposta

r = \sqrt[\,3\,]{\frac{3000}{7\pi}} \approx 5{,}15\text{ m}.

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