Exercício 2.5.6. Seja L subseteq R^3 o sub-espaço gerado pelos vetores v1=(1,-1,0), v2=(0,1,0), v3=(0,2,0). Estabelecer se v4=(0,2,3) in L.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se v4=(0,2,3) pertence ao subespaço LsubseteqR^3 gerado pelos vetores v1=(1,-1,0), v2=(0,1,0) e v3=(0,2,0). O conteúdo aqui é teste de pertencimento a um subespaço: basta tentar escrever v4 como combinação linear dos geradores de L.

Passo 2

Observamos que v3=(0,2,0) é múltiplo de v2=(0,1,0), pois
v3=2,v2
Logo um sistema de geradores mínimo para L é v1,v2. Qualquer vetor em L tem a forma
a,v1+b,v2 =a,(1,-1,0)+b,(0,1,0) =(a,,-a+b,;0)

Passo 3

Para que v4=(0,2,3) esteja em L, precisaríamos de a e b tais que
(a,,-a+b,;0)=(0,2,3)
Mas a terceira componente nos dá
0=3,
que é impossível. Portanto não existe combinação linear de v1,v2 que produza v4.

Resposta

v4notin L.

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