Exercício 7. Seja A=\left(\begin{array}{ccc}4 & -1 & 6 \\\\ 2 & 1 & 6 \\\\ 2 & -1 & 8\end{array}\right) a matriz de um operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} em relação à base canônica. Pergunta-se: o operador linear T é diagonalizável?
Passo 1
O enunciado dá o operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica é
e pergunta se T é diagonalizável. Para isso, vamos usar a teoria de que T é diagonalizável se e somente se existe uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de T. Na prática, calculamos o polinômio característico de A, achamos seus autovalores e verificamos se a soma das dimensões dos correspondentes espaços próprios é igual a 3.
Passo 2
Calculemos o polinômio característico \chi(\lambda)=\det(A-\lambda I).
ou seja, a multiplicidade geométrica de 2 é 2 (igual à algébrica).
Para \lambda=9, a multiplicidade algébrica é 1 e sempre vale \dim\ker(A-9I)\ge1, mas não pode ser maior que 1. Logo a dimensão desse espaço próprio é exatamente 1.
Passo 5
Somando as dimensões dos espaços próprios obtemos 2+1=3, que é a dimensão total de \mathbb{R}^3. Portanto existe uma base de autovetores de T, e assim T é diagonalizável.