Exercício 10. Verificar, em cada um dos itens abaixo, se o operador T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right), dado pela sua matriz em relação à base canônica \mathcal{B}, é diagonalizável.
e pede para verificar se T é diagonalizável. Vamos usar que T é diagonalizável se, e somente se, a soma das dimensões das auto-espaços (multipl. geom.) for igual a 3, o que ocorre exatamente quando, para cada auto-valor, a multiplic. geom. coincide com a multiplic. alg.
Passo 2
Calcular o polinômio característico p(\lambda)=\det(A - \lambda I). Temos
Todas as linhas dão a mesma equação 2x_{1}+2x_{2}-2x_{3}=0, i.e.,
x_{3}=x_{1}+x_{2}.
Isso gera dois graus de liberdade (x_{1},x_{2} livres), então a dimensão do autoespaço é 2, igual à mult. alg. de -1.
Passo 6
Como para cada autovalor a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica e somam 1+2=3, concluímos que existem três autovetores linearmente independentes. Portanto T é diagonalizável.