Exercício 10. Verificar, em cada um dos itens abaixo, se o operador T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right), dado pela sua matriz em relação à base canônica \mathcal{B}, é diagonalizável.
T]_{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & 2 & -3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica é
A = [T]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2\\\\ 2 & 1 & -2\\\\ 2 & 2 & -3 \end{pmatrix},
e pede para verificar se T é diagonalizável. Vamos usar que T é diagonalizável se, e somente se, a soma das dimensões das auto-espaços (multipl. geom.) for igual a 3, o que ocorre exatamente quando, para cada auto-valor, a multiplic. geom. coincide com a multiplic. alg.

Passo 2

Calcular o polinômio característico p(\lambda)=\det(A - \lambda I). Temos
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & -2\\\\ 2 & 1-\lambda & -2\\\\ 2 & 2 & -3-\lambda \end{pmatrix}.
Fazendo a expansão por cofatores chega-se a
p(\lambda) = (1-\lambda)\bigl(\lambda+1\bigr)^{2}.

Passo 3

Os autovalores são as raízes de p(\lambda):
\lambda_{1}=1 \quad(\text{mult. alg. }1), \qquad \lambda_{2}=-1 \quad(\text{mult. alg. }2).

Passo 4

Para \lambda_{1}=1 resolvemos (A - I)x=0.
A - I = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -2\\\\ 2 & 0 & -2\\\\ 2 & 2 & -4 \end{pmatrix}.
O sistema equivale a
2x_{2}-2x_{3}=0,\quad 2x_{1}-2x_{3}=0,\quad 2x_{1}+2x_{2}-4x_{3}=0.
Dessas equações segue x_{1}=x_{3} e x_{2}=x_{3}, logo o autoespaço tem dimensão 1 (vários vetores proporcionais a (1,1,1)).

Passo 5

Para \lambda_{2}=-1 resolvemos (A + I)x=0.
A + I = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -2\\\\ 2 & 2 & -2\\\\ 2 & 2 & -2 \end{pmatrix}.
Todas as linhas dão a mesma equação 2x_{1}+2x_{2}-2x_{3}=0, i.e.,
x_{3}=x_{1}+x_{2}.
Isso gera dois graus de liberdade ( x_{1},x_{2} livres), então a dimensão do autoespaço é 2, igual à mult. alg. de -1.

Passo 6

Como para cada autovalor a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica e somam 1+2=3, concluímos que existem três autovetores linearmente independentes. Portanto T é diagonalizável.

Resposta

O operador T é diagonalizável.

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