Exercício 8. A matriz A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 4 & 3 \\\\ -4 & -6 & -3 \\\\ 3 & 3 & 1\end{array}\right) é diagonalizável? Caso afirmativo encontre a matriz inversível M que realiza a diagonalização.

Passo 1

O enunciado pergunta se a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 3\\\\ -4 & -6 & -3\\\\ 3 & 3 & 1 \end{pmatrix}
é diagonalizável e, em caso afirmativo, pede uma matriz invertível M que a diagonalize. Vamos usar teoria de autovalores e autovetores: primeiro encontramos o polinômio característico, depois os autovalores, a seguir as respectivas dimensões dos espaços próprios e, por fim, comparamos multiplicidades algébrica e geométrica.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de A:
p(\lambda)=\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 4 & 3\\\\ -4 & -6-\lambda & -3\\\\ 3 & 3 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
Fazendo o desenvolvimento, chega-se a
p(\lambda) = \lambda^3 + 3\lambda^2 - 4.
Fatorando,
p(\lambda) = (\lambda-1)\,(\lambda+2)^2.

Passo 3

Os autovalores são as raízes de p(\lambda):
\lambda_1 = 1 (multiplicidade algébrica 1) e
\lambda_2 = -2 (multiplicidade algébrica 2).

Passo 4

Encontramos as dimensões dos espaços próprios.
Para \lambda=1, resolvemos (A - I)v=0:
\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3\\\\ -4 & -7 & -3\\\\ 3 & 3 & 0 \end{pmatrix} \!v=0 \;\Longrightarrow\; v = t\,(-1,\,1,\,-1),\;t\in\mathbb{R}.
Logo, a dimensão do espaço próprio de \lambda=1 é 1.
Para \lambda=-2, resolvemos (A+2I)v=0:
\begin{pmatrix} 4 & 4 & 3\\\\ -4 & -4 & -3\\\\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix} \!v=0 \;\Longrightarrow\; v = s\,(-1,\,1,\,0),\;s\in\mathbb{R}.
Isso mostra que a dimensão do espaço próprio de \lambda=-2 é 1, embora a multiplicidade algébrica seja 2.

Passo 5

Como o autovalor \lambda=-2 tem multiplicidade algébrica 2, mas a dimensão do seu espaço próprio é apenas 1, não há vetores próprios suficientes para formar uma base de \mathbb{R}^3. Portanto, A não é diagonalizável.

Resposta

A matriz A não é diagonalizável.

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