Exercício 5. Calcule \int_{C} F d r para o campo \vec{F}=\left(2 x+3 x^{2} y^{2}, 2(x+y)+2 x^{3} y\right) onde C é a curva orientada no sentido positivo e composta por
\left\{\begin{array}{l} y=4-x^{2} ;-2 \leq x \leq 2 \\\ y=0 ;-2 \leq x \leq 2 \\\ x^{2}+(y-2)^{2}=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede o integral de linha
\displaystyle \int_{C}\vec F\cdot d\vec r
para
\displaystyle \vec F=(P,Q)=(2x+3x^2y^2,\;2(x+y)+2x^3y)
sobre a curva C que é a união de
  1. y=4-x^2,\;-2\le x\le2 (arco de parábola),
  2. y=0,\;-2\le x\le2 (segmento no eixo x),
  3. x^2+(y-2)^2=1 (círculo de raio 1 centrado em (0,2)).
    Orientação “positiva” significa que, tomados os limites externos (parábola + reta) e internos (círculo), percorremos cada contorno de modo que a região
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le4-x^2,\;-2\le x\le2\}\setminus\{x^2+(y-2)^2<1\}
fique sempre à esquerda. Vamos usar o Teorema de Green, pois o campo é bem comportado e C é a fronteira de D.

Passo 2

Calcular o rotacional (em 2D, \partial Q/\partial x-\partial P/\partial y):
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl[2(x+y)+2x^3y\bigr] =2+6x^2y,
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl[2x+3x^2y^2\bigr] =6x^2y.
Logo
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =(2+6x^2y)-6x^2y =2.

Passo 3

Pelo Teorema de Green,
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA =\iint_{D}2\,dA =2\cdot\mathrm{Area}(D).
A região D é a parte sob a parábola e acima de y=0, menos o disco interno do raio 1.
Área sob a parábola:
\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx =\Bigl[4x-\tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{-2}^{2} =(8-\tfrac{8}{3})-(-8+\tfrac{8}{3}) =16-\tfrac{16}{3} =\tfrac{32}{3}.
Área do disco de raio 1:
\pi\cdot1^2=\pi.
Portanto
\mathrm{Area}(D)=\tfrac{32}{3}-\pi.

Passo 4

Substituindo em \displaystyle 2\cdot\mathrm{Area}(D):
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r =2\Bigl(\tfrac{32}{3}-\pi\Bigr) =\tfrac{64}{3}-2\pi.

Resposta

\displaystyle \tfrac{64}{3}-2\pi

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