Exercício 2.2 Seja
a função definida por
. Considere a nova função
definida por
.
Determine
e
.
Determine
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
. Também introduz uma função
por
, mas a pergunta pede apenas para determinar
e
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A regra da função é
. - A função está escrita como
, ou seja, o enunciado já indica que o domínio natural considerado é o conjunto dos números reais.
As perguntas do enunciado são:
- Qual é
, o domínio de ? - Qual é
, a imagem (conjunto de valores assumidos) de ?
Passo 2
O que significa
(domínio)?
é o conjunto de todos os valores de entrada
para os quais a expressão que define
faz sentido. A regra
usa apenas operações elementares (multiplicação e potenciação inteira positiva). Essas operações estão definidas para todo
. Portanto não há restrição (como divisões por zero ou raízes de índice par de número negativo) que exclua algum real. Conclusão lógica:
Passo 3
O que significa
(imagem)?
é o conjunto de todos os valores
tais que existe algum
com
. Ou seja,
Passo 4
Mostrar que todo valor de
é não negativo:
Para qualquer vale
Para qualquer
porque o quadrado de um número real nunca é negativo (se
então
; se
então
e
). Assim todos os valores de
estão em
. Portanto
Passo 5
Mostrar que todo
é atingido por
: escolha
. Tome
(a raiz quadrada existe e é um número real quando
). Então
Também
funciona, pois
. Isso mostra que qualquer
pertence à imagem de
. Portanto
Passo 6
Combinar as inclusões dos passos anteriores:
e
implicam