Exercício 2.2 Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} a função definida por f(x)=x^{2}. Considere a nova função g definida por g(x)=f(1+x)-f(1-x).
Determine D(f) e \operatorname{Im}(f).

Passo 1

O enunciado dá a função f: \mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=x^{2}. Também introduz uma função g por g(x)=f(1+x)-f(1-x), mas a pergunta pede apenas para determinar D(f) e \operatorname{Im}(f).
Informações relevantes que temos:
  • A regra da função é f(x)=x^{2}.
  • A função está escrita como f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}, ou seja, o enunciado já indica que o domínio natural considerado é o conjunto dos números reais.
    As perguntas do enunciado são:
  1. Qual é D(f), o domínio de f?
  2. Qual é \operatorname{Im}(f), a imagem (conjunto de valores assumidos) de f?

Passo 2

O que significa D(f) (domínio)?
D(f) é o conjunto de todos os valores de entrada x para os quais a expressão que define f faz sentido. A regra f(x)=x^{2} usa apenas operações elementares (multiplicação e potenciação inteira positiva). Essas operações estão definidas para todo x\in\mathbb{R}. Portanto não há restrição (como divisões por zero ou raízes de índice par de número negativo) que exclua algum real. Conclusão lógica:
D(f)=\mathbb{R}.

Passo 3

O que significa \operatorname{Im}(f) (imagem)?
\operatorname{Im}(f) é o conjunto de todos os valores y\in\mathbb{R} tais que existe algum x\in D(f) com f(x)=y. Ou seja,
\operatorname{Im}(f)=\{\,y\in\mathbb{R}\mid \exists x\in\mathbb{R}\text{ tal que }y=f(x)=x^{2}\,\}.

Passo 4

Mostrar que todo valor de f(x) é não negativo:
Para qualquer x\in\mathbb{R} vale
x^{2}\ge 0,
porque o quadrado de um número real nunca é negativo (se x\ge 0 então x^{2}\ge 0; se x<0 então (-x)>0 e (-x)^{2}=x^{2}\ge 0). Assim todos os valores de f estão em [0,\infty). Portanto
\operatorname{Im}(f)\subseteq[0,\infty).

Passo 5

Mostrar que todo y\ge 0 é atingido por f: escolha y\ge 0. Tome x=\sqrt{y} (a raiz quadrada existe e é um número real quando y\ge 0). Então
f(\sqrt{y})=(\sqrt{y})^{2}=y.
Também x=-\sqrt{y} funciona, pois f(-\sqrt{y})=(-\sqrt{y})^{2}=y. Isso mostra que qualquer y\in[0,\infty) pertence à imagem de f. Portanto
[0,\infty)\subseteq\operatorname{Im}(f).

Passo 6

Combinar as inclusões dos passos anteriores: \operatorname{Im}(f)\subseteq[0,\infty) e [0,\infty)\subseteq\operatorname{Im}(f) implicam
\operatorname{Im}(f)=[0,\infty).

Resposta

D(f)=\mathbb{R}
\operatorname{Im}(f)=[0,\infty)

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