(a) Encontre uma exepressão para T(X), para cada X \in M_{2}(\mathbb{R}).
(b) T é sobrejetora? Justifique sua resposta.
(c) T é injetora? Justifique sua resposta.
(d) T é bijetora? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear T: M_{2}(\mathbb{R})\to M_{2}(\mathbb{R}) e fornece os valores de T em quatro matrizes:
O que o exercício pede:
(a) uma expressão para T(X) para qualquer X\in M_2(\mathbb{R});
(b) verificar se T é sobrejetora;
(c) verificar se T é injetora;
(d) verificar se T é bijetora.]
Passo 2
Plano de ataque (apenas para orientar, não resolvo ainda): como M_2(\mathbb{R}) tem dimensão 4, uma maneira natural é escrever uma matriz genérica
X=\begin{pmatrix}a&b\\[2pt]c&d\end{pmatrix}
como combinação linear da base padrão \{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}, onde
Então X=aE_{11}+bE_{12}+cE_{21}+dE_{22}. Como T é linear, basta saber T em cada E_{ij}. O enunciado já nos dá T(E_{11}), T(E_{21}), T(E_{22}), e dá T(E_{11}+E_{12}). Podemos usar essas informações para obter T(E_{12}) e, em seguida, escrever T(X).]
Passo 3
Calcular T(E_{12}) a partir das informações dadas. Note que A_2=E_{11}+E_{12}. Como T é linear,
T\!\left(\begin{pmatrix}a&b\\[2pt]c&d\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} a - 2b + d & 4a - 4b \\[4pt] 2\bigl(a - b + c + d\bigr) & 3a + c \end{pmatrix}.]
Passo 6
Agora verificamos sobrejetividade. Conceito rápido: [T) é sobrejetora se, para toda matriz Y\in M_2(\mathbb{R}), existe X com T(X)=Y. Como espaços têm dimensão finita 4, T é sobrejetora se e só se \operatorname{rank}(T)=4, isto é, as imagens dos quatro vetores da base são linearmente independentes (ou geram todo M_2(\mathbb{R})).
Vamos verificar se as quatro matrizes T(E_{11}),T(E_{12}),T(E_{21}),T(E_{22}) são linearmente independentes. Para isso identificamos cada matriz com o vetor coluna formado pelas entradas na ordem (1,1),(1,2),(2,1),(2,2). Assim temos as colunas:
Da segunda equação vem \alpha_1=\alpha_2\]. Substituindo na primeira obtemos \(\alpha_4=\alpha_1. Da quarta vem \alpha_3=-3\alpha_1. Substituindo tudo na terceira:
logo \alpha_1=0. Então \alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=0. Só existe solução trivial, portanto c_1,c_2,c_3,c_4 são linearmente independentes e o posto é 4.
Como \operatorname{rank}(T)=4=\dim M_2(\mathbb{R}), T é sobrejetora.]
Passo 7
Verificamos injetividade. Conceito rápido: T é injetora se T(X)=0 implica X=0. Pelo Teorema do Posto-Nulidade (rank-nullity), para um operador linear entre espaços de dimensão finita:
Aqui \dim(\text{domínio})=4í e já vimos \operatorname{rank}(T)=4, portanto \dim(\ker T)=0. Logo o núcleo é \{0\} e T é injetora.
Passo 8
Conclusão sobre bijetividade. Uma aplicação linear entre espaços de mesma dimensão finita é bijetora quando é injetora (ou equivalente: quando é sobrejetora). Já mostramos que T é sobrejetora e injetora; portanto T é bijetora.