Exercício 8. Seja T: M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) um operador linear em M_{2}(\mathbb{R}), tal que
\begin{gathered} T\left(\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{ll} 1 & 4 \\\\ 2 & 3 \end{array}\right), \quad T\left(\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\\\ 0 & 3 \end{array}\right), \\\ T\left(\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 2 & 1 \end{array}\right), \quad T\left(\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 2 & 0 \end{array}\right) . \end{gathered}
(a) Encontre uma exepressão para T(X), para cada X \in M_{2}(\mathbb{R}).
(b) T é sobrejetora? Justifique sua resposta.
(c) T é injetora? Justifique sua resposta.
(d) T é bijetora? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T: M_{2}(\mathbb{R})\to M_{2}(\mathbb{R}) e fornece os valores de T em quatro matrizes:
A_1=\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&0\end{pmatrix},\quad A_2=\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]0&0\end{pmatrix},\quad A_3=\begin{pmatrix}0&0\\[2pt]1&0\end{pmatrix},\quad A_4=\begin{pmatrix}0&0\\[2pt]0&1\end{pmatrix},
com
T(A_1)=\begin{pmatrix}1&4\\[2pt]2&3\end{pmatrix},\quad T(A_2)=\begin{pmatrix}-1&0\\[2pt]0&3\end{pmatrix},\quad T(A_3)=\begin{pmatrix}0&0\\[2pt]2&1\end{pmatrix},\quad T(A_4)=\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]2&0\end{pmatrix}.
O que o exercício pede:
(a) uma expressão para T(X) para qualquer X\in M_2(\mathbb{R});
(b) verificar se T é sobrejetora;
(c) verificar se T é injetora;
(d) verificar se T é bijetora.]

Passo 2

Plano de ataque (apenas para orientar, não resolvo ainda): como M_2(\mathbb{R}) tem dimensão 4, uma maneira natural é escrever uma matriz genérica
X=\begin{pmatrix}a&b\\[2pt]c&d\end{pmatrix}
como combinação linear da base padrão \{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}, onde
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&0\end{pmatrix},\; E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]0&0\end{pmatrix},\; E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\[2pt]1&0\end{pmatrix},\; E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\[2pt]0&1\end{pmatrix}.
Então X=aE_{11}+bE_{12}+cE_{21}+dE_{22}. Como T é linear, basta saber T em cada E_{ij}. O enunciado já nos dá T(E_{11}), T(E_{21}), T(E_{22}), e dá T(E_{11}+E_{12}). Podemos usar essas informações para obter T(E_{12}) e, em seguida, escrever T(X).]

Passo 3

Calcular T(E_{12}) a partir das informações dadas. Note que A_2=E_{11}+E_{12}. Como T é linear,
T(A_2)=T(E_{11}+E_{12})=T(E_{11})+T(E_{12}).
Isolando T(E_{12}) obtemos
T(E_{12})=T(A_2)-T(E_{11}).
Substituindo os valores fornecidos:
T(E_{12})= \begin{pmatrix}-1&0\\[2pt]0&3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1&4\\[2pt]2&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1-1 & 0-4\\[2pt]0-2 & 3-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & -4\\[2pt]-2 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora temos T em cada base padrão:
T(E_{11})=\begin{pmatrix}1&4\\[2pt]2&3\end{pmatrix},\; T(E_{12})=\begin{pmatrix}-2&-4\\[2pt]-2&0\end{pmatrix},\; T(E_{21})=\begin{pmatrix}0&0\\[2pt]2&1\end{pmatrix},\; T(E_{22})=\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]2&0\end{pmatrix}.
Se X=\begin{pmatrix}a&b\\[2pt]c&d\end{pmatrix}=aE_{11}+bE_{12}+cE_{21}+dE_{22}, pela linearidade
T(X)=a\,T(E_{11})+b\,T(E_{12})+c\,T(E_{21})+d\,T(E_{22}).]

Passo 5

Calculemos entrada por entrada a combinação linear para obter uma fórmula explícita. Multiplicando e somando as matrizes:
Elemento (1,1):
a\cdot 1 + b\cdot(-2) + c\cdot 0 + d\cdot 1 = a - 2b + d.
Elemento (1,2):
a\cdot 4 + b\cdot(-4) + c\cdot 0 + d\cdot 0 = 4a - 4b.
Elemento (2,1):
a\cdot 2 + b\cdot(-2) + c\cdot 2 + d\cdot 2 = 2a - 2b + 2c + 2d = 2\bigl(a - b + c + d\bigr).
Elemento (2,2):
a\cdot 3 + b\cdot 0 + c\cdot 1 + d\cdot 0 = 3a + c.
Portanto obtemos a expressão:
T\!\left(\begin{pmatrix}a&b\\[2pt]c&d\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} a - 2b + d & 4a - 4b \\[4pt] 2\bigl(a - b + c + d\bigr) & 3a + c \end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora verificamos sobrejetividade. Conceito rápido: [T) é sobrejetora se, para toda matriz Y\in M_2(\mathbb{R}), existe X com T(X)=Y. Como espaços têm dimensão finita 4, T é sobrejetora se e só se \operatorname{rank}(T)=4, isto é, as imagens dos quatro vetores da base são linearmente independentes (ou geram todo M_2(\mathbb{R})).
Vamos verificar se as quatro matrizes T(E_{11}),T(E_{12}),T(E_{21}),T(E_{22}) são linearmente independentes. Para isso identificamos cada matriz com o vetor coluna formado pelas entradas na ordem (1,1),(1,2),(2,1),(2,2). Assim temos as colunas:
c_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]4\\[2pt]2\\[2pt]3\end{pmatrix},\; c_2=\begin{pmatrix}-2\\[2pt]-4\\[2pt]-2\\[2pt]0\end{pmatrix},\; c_3=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix},\; c_4=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]2\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Procuramos constantes \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4 tais que
\alpha_1 c_1+\alpha_2 c_2+\alpha_3 c_3+\alpha_4 c_4=0.
Escrevendo componente a componente obtemos o sistema linear:
\begin{cases} \alpha_1 -2\alpha_2 + \alpha_4 = 0,\\[4pt] 4\alpha_1 -4\alpha_2 = 0,\\[4pt] 2\alpha_1 -2\alpha_2 +2\alpha_3 +2\alpha_4 = 0,\\[4pt] 3\alpha_1 + \alpha_3 = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem \alpha_1=\alpha_2\]. Substituindo na primeira obtemos \(\alpha_4=\alpha_1. Da quarta vem \alpha_3=-3\alpha_1. Substituindo tudo na terceira:
2\alpha_1 -2\alpha_1 +2(-3\alpha_1)+2(\alpha_1)=0 \quad\Rightarrow\quad -2\alpha_1=0,
logo \alpha_1=0. Então \alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=0. Só existe solução trivial, portanto c_1,c_2,c_3,c_4 são linearmente independentes e o posto é 4.
Como \operatorname{rank}(T)=4=\dim M_2(\mathbb{R}), T é sobrejetora.]

Passo 7

Verificamos injetividade. Conceito rápido: T é injetora se T(X)=0 implica X=0. Pelo Teorema do Posto-Nulidade (rank-nullity), para um operador linear entre espaços de dimensão finita:
\dim(\ker T)+\operatorname{rank}(T)=\dim(\text{domínio}).í
Aqui \dim(\text{domínio})=4í e já vimos \operatorname{rank}(T)=4, portanto \dim(\ker T)=0. Logo o núcleo é \{0\} e T é injetora.

Passo 8

Conclusão sobre bijetividade. Uma aplicação linear entre espaços de mesma dimensão finita é bijetora quando é injetora (ou equivalente: quando é sobrejetora). Já mostramos que T é sobrejetora e injetora; portanto T é bijetora.

Resposta

(a) \displaystyle T\!\left(\begin{pmatrix}a&b\\[2pt]c&d\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}a-2b+d & 4a-4b\\[4pt]2\bigl(a-b+c+d\bigr) & 3a+c\end{pmatrix}.
(b) Sim.
(c) Sim.
(d) Sim.]

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