Determine o núcleo das transformações lineares.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, dada por T(x, y, z)=(z-x, z-2 x, z-3 x), para (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z)=(z-x,\; z-2x,\; z-3x),
para (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}. A pergunta é: determinar o núcleo de T, ou seja, o conjunto de todos os vetores (x,y,z) que são enviados para o vetor nulo em \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Vou explicar o que é o núcleo de uma transformação linear de forma simples: o núcleo (ou nullspace) é o conjunto
\ker(T)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid T(x,y,z)=(0,0,0)\}.
Na prática, para achar \ker(T) a gente impõe que cada componente da imagem seja zero e resolve o sistema de equações resultante.

Passo 3

Escrevendo a condição T(x,y,z)=(0,0,0)\) componente a componente, obtemos o sistema \[\begin{cases} z-x = 0,\\[4pt] z-2x = 0,\\[4pt] z-3x = 0. \end{cases}
Essas três equações devem ser satisfeitas simultaneamente por (x,y,z].]

Passo 4

Vamos usar álgebra simples para resolver o sistema. Subtraindo a segunda equação da primeira temos:
(z-x)-(z-2x)=0-0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
(Explicando este passo: ao subtrair cancela-se z e sobra x, então x=0.)

Passo 5

Com x=0, substituímos em uma qualquer das equações (por exemplo, na primeira):
z-x = 0 \quad\Rightarrow\quad z-0=0 \quad\Rightarrow\quad z=0.
Portanto obtemos x=0 e z=0.

Passo 6

Observamos que a variável y não aparece em nenhuma das três equações — ou seja, y é livre (pode ser qualquer número real). Então os vetores no núcleo têm a forma
(x,y,z)=(0,y,0),
com y\in\mathbb{R}.

Passo 7

Parametrizando, escrevemos o núcleo como conjunto gerado por um vetor:
\ker(T)=\{(0,y,0)\mid y\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(0,1,0)\}.
Isto mostra também que \dim(\ker(T))=1: o núcleo é uma reta pelo eixo y.

Resposta

\ker(T)=\{(0,y,0)\mid y\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(0,1,0)\}

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