Determine o núcleo das transformações lineares.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, dada por T(x, y, z)=(z-x, z-2 x, z-3 x), para (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, dada por T(x, y, z)=(z-x, z-2 x, z-3 x), para (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
para
. A pergunta é: determinar o núcleo de
, ou seja, o conjunto de todos os vetores
que são enviados para o vetor nulo em
.
Passo 2
Vou explicar o que é o núcleo de uma transformação linear de forma simples: o núcleo (ou nullspace) é o conjunto
Na prática, para achar
a gente impõe que cada componente da imagem seja zero e resolve o sistema de equações resultante.
Passo 3
Escrevendo a condição
Essas três equações devem ser satisfeitas simultaneamente por (x,y,z].]
Passo 4
Vamos usar álgebra simples para resolver o sistema. Subtraindo a segunda equação da primeira temos:
(Explicando este passo: ao subtrair cancela-se
e sobra
, então
.)
Passo 5
Com
, substituímos em uma qualquer das equações (por exemplo, na primeira):
Portanto obtemos
e
.
Passo 6
Observamos que a variável
não aparece em nenhuma das três equações — ou seja,
é livre (pode ser qualquer número real). Então os vetores no núcleo têm a forma
com
.
Passo 7
Parametrizando, escrevemos o núcleo como conjunto gerado por um vetor:
Isto mostra também que
: o núcleo é uma reta pelo eixo
.