Exercício 9. Seja T: U \rightarrow V um isomorfismo. Assuma que S: V \rightarrow U satisfaz T \circ S=I_{V} (ou \left.S \circ T=I_{U}\right). Prove que S é uma trasnformação linear.

Passo 1

O enunciado pede para provar que uma aplicação S: V \rightarrow U é linear, sob a hipótese de que existe um isomorfismo T: U \rightarrow V e que S satisfaz uma das identidades seguintes:
T\circ S = I_{V}
ou
S\circ T = I_{U}.
Informações dadas:
T: U \to V \text{ é um isomorfismo (portanto linear, injetora e sobrejetora).}é
S: V \to U \text{ satisfaz } T\circ S=I_{V}\quad\text{ou}\quad S\circ T=I_{U}.
O que é pedido: mostrar, a partir dessas hipóteses, que S obedece às duas propriedades de linearidade:
S(v+w)=S(v)+S(w)\quad\text{e}\quad S(\alpha v)=\alpha S(v)
para todos v,w\in V e todo escalar \alpha.

Passo 2

Relembrando conceitos e propriedades que vou usar (com explicação didática):
  • Definição de aplicação linear: uma aplicação L entre espaços vetoriais é linear se, para todo x,y no domínio e todo escalar \alpha, L(x+y)=L(x)+L(y)e L(\alpha x)=\alpha L(x).Essas duas propriedades são chamadas de aditividade e homogeneidade.
  • Definição de isomorfismo: T:U\to V ser um isomorfismo significa que T é linear e bijetora (ou seja, injetora e sobrejetora). Em particular:
    • Injetora significa: se T(u_1)=T(u_2) então u_1=u_2.
    • Sobrejetora significa: para todo v\in V existe u\in U tal que T(u)=v.
  • Uso usual: se T é linear então ela preserva soma e multiplicação por escalar, isto é, para quaisquer x,y e \alpha, T(x+y)=T(x)+T(y),\qquad T(\alpha x)=\alpha T(x).
Vou usar essas propriedades para deduzir a linearidade de S em cada uma das hipóteses do enunciado.

Passo 3

Caso 1: suponha que T\circ S = I_V.
Objetivo neste caso: provar aditividade e homogeneidade de S.
Provar aditividade: tome v,w\in V. Considere a igualdade obtida aplicando T a S(v+w):
T\big(S(v+w)\big) = (T\circ S)(v+w) = I_V(v+w)=v+w.
Agora aplique T ao elemento S(v)+S(w). Usando linearidade de T (pois T é isomorfismo e, portanto, linear),
T\big(S(v)+S(w)\big) = T\big(S(v)\big) + T\big(S(w)\big) = (T\circ S)(v) + (T\circ S)(w) = v + w.
Concluímos que
T\big(S(v+w)\big) = T\big(S(v)+S(w)\big) = v+w.
Como T é injetora, se T(x)=T(y) então x=y. Aplicando isso aos dois argumentos de T acima, obtemos
S(v+w)=S(v)+S(w).
Portanto a aditividade de S está provada no caso T\circ S=I_V.
Provar homogeneidade: tome v\in V e escalar \alpha. Novamente, aplique T em S(\alpha v):
T\big(S(\alpha v)\big) = (T\circ S)(\alpha v) = I_V(\alpha v)=\alpha v.
Por outro lado, usando linearidade de T,
T\big(\alpha S(v)\big) = \alpha\, T\big(S(v)\big) = \alpha (T\circ S)(v) = \alpha v.
Logo
T\big(S(\alpha v)\big) = T\big(\alpha S(v)\big).
Usando que T é injetora, segue
S(\alpha v)=\alpha S(v).
Assim S preserva multiplicação por escalar. Com isso, no caso T\circ S=I_V mostramos que S é linear.

Passo 4

Caso 2: suponha que S\circ T = I_U.
Aqui vou usar surjetividade de T para escrever qualquer v\in V como imagem de algum u\in U.
Provar aditividade: tome v_1,v_2\in V. Como T é sobrejetora, existem u_1,u_2\in U tais que T(u_1)=v_1 e T(u_2)=v_2. Então
v_1+v_2 = T(u_1)+T(u_2) = T(u_1+u_2),
onde usei a linearidade de T. Aplicando S a ambos os lados e usando a hipótese S\circ T=I_U,
S(v_1+v_2) = S\big(T(u_1+u_2)\big) = (S\circ T)(u_1+u_2) = u_1+u_2.
Por outro lado,
S(v_1)+S(v_2) = S\big(T(u_1)\big) + S\big(T(u_2)\big) = (S\circ T)(u_1) + (S\circ T)(u_2) = u_1 + u_2.
Portanto
S(v_1+v_2)=S(v_1)+S(v_2).
Isso prova a aditividade de S neste caso.
Provar homogeneidade: tome v\in V e escalar \alpha. Como T é sobrejetora, escolha u\in U com T(u)=v. Temos
S(\alpha v) = S\big(\alpha T(u)\big) = S\big(T(\alpha u)\big) = (S\circ T)(\alpha u) = \alpha u,
onde usei linearidade de T para escrever \alpha T(u)=T(\alpha u) e em seguida S\circ T=I_U. Além disso,
\alpha S(v) = \alpha S\big(T(u)\big) = \alpha (S\circ T)(u) = \alpha u.
Logo S(\alpha v)=\alpha S(v), provando homogeneidade. Assim S é linear também no caso S\circ T=I_U.

Passo 5

Observação final e interpretação: em ambos os casos mostrei diretamente que S preserva soma e multiplicação por escalar, ou seja, S satisfaz as duas propriedades que definem linearidade. Além disso, essas identidades de composição caracterizam S como a inversa de T (isto é, S=T^{-1}), e uma consequência geral é que a inversa de um isomorfismo linear é linear — aqui eu provei isso de forma concreta usando injetividade ou sobrejetividade conforme o caso.

Resposta

S é linear.

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