Exercício 9. Seja
um isomorfismo. Assuma que
satisfaz
(ou
. Prove que
é uma trasnformação linear.
Passo 1
O enunciado pede para provar que uma aplicação
é linear, sob a hipótese de que existe um isomorfismo
e que
satisfaz uma das identidades seguintes:
ou
Informações dadas:
O que é pedido: mostrar, a partir dessas hipóteses, que
obedece às duas propriedades de linearidade:
para todos
e todo escalar
.
Passo 2
Relembrando conceitos e propriedades que vou usar (com explicação didática):
- Definição de aplicação linear: uma aplicação
entre espaços vetoriais é linear se, para todo no domínio e todo escalar , e Essas duas propriedades são chamadas de aditividade e homogeneidade. - Definição de isomorfismo:
ser um isomorfismo significa que é linear e bijetora (ou seja, injetora e sobrejetora). Em particular: - Injetora significa: se
então . - Sobrejetora significa: para todo
existe tal que .
- Injetora significa: se
- Uso usual: se
é linear então ela preserva soma e multiplicação por escalar, isto é, para quaisquer e ,
Vou usar essas propriedades para deduzir a linearidade de
em cada uma das hipóteses do enunciado.
Passo 3
Caso 1: suponha que
.
Objetivo neste caso: provar aditividade e homogeneidade de .
Objetivo neste caso: provar aditividade e homogeneidade de
Provar aditividade: tome
. Considere a igualdade obtida aplicando
a
:
Agora aplique
ao elemento
. Usando linearidade de
(pois
é isomorfismo e, portanto, linear),
Concluímos que
Como
é injetora, se
então
. Aplicando isso aos dois argumentos de
acima, obtemos
Portanto a aditividade de
está provada no caso
.
Provar homogeneidade: tome
e escalar
. Novamente, aplique
em
:
Por outro lado, usando linearidade de
,
Logo
Usando que
é injetora, segue
Assim
preserva multiplicação por escalar. Com isso, no caso
mostramos que
é linear.
Passo 4
Caso 2: suponha que
.
Aqui vou usar surjetividade de para escrever qualquer
como imagem de algum
.
Aqui vou usar surjetividade de
Provar aditividade: tome
. Como
é sobrejetora, existem
tais que
e
. Então
onde usei a linearidade de
. Aplicando
a ambos os lados e usando a hipótese
,
Por outro lado,
Portanto
Isso prova a aditividade de
neste caso.
Provar homogeneidade: tome
e escalar
. Como
é sobrejetora, escolha
com
. Temos
onde usei linearidade de
para escrever
e em seguida
. Além disso,
Logo
, provando homogeneidade. Assim
é linear também no caso
.
Passo 5
Observação final e interpretação: em ambos os casos mostrei diretamente que
preserva soma e multiplicação por escalar, ou seja,
satisfaz as duas propriedades que definem linearidade. Além disso, essas identidades de composição caracterizam
como a inversa de
(isto é,
), e uma consequência geral é que a inversa de um isomorfismo linear é linear — aqui eu provei isso de forma concreta usando injetividade ou sobrejetividade conforme o caso.