Exercício 6. Determinar bases para o núcleo e para a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo.
T: \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}), dada por T(p)=p^{\prime}+p^{\prime \prime}, para p \in \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R})\to\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) definida por
T(p)=p'+p'',
para todo p\in\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}). A tarefa é determinar:
  • uma base para o núcleo de T (ou seja, o conjunto \{p\mid T(p)=0\});
  • uma base para a imagem de T (ou seja, o conjunto \{T(p)\mid p\in\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R})\}).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{Espaço: }\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R})=\{\,p(x)=ax^{2}+bx+c\mid a,b,c\in\mathbb{R}\,\}.ç
Não há outras restrições; a transformação usa as derivadas primeira e segunda.

Passo 2

Vamos escrever um polinômio genérico de \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) e calcular suas derivadas (aqui uma mini-aula sobre derivadas de polinômios).
  • Regra: se p(x)=k x^{n} então p'(x)=n k x^{n-1}. Para polinômios, derivada é feita termo a termo e a derivada de constante é zero.
  • Tome p(x)=ax^{2}+bx+c com a,b,c\in\mathbb{R}.
    Então:
p'(x)=2ax+b,
p''(x)=2a.
Esses resultados vieram aplicando a regra termo a termo: (ax^{2})' = 2ax, (bx)'=b, \text{(c)}'=0; e para a segunda derivada derivamos novamente.

Passo 3

Agora calcule T(p)=p'+p'' para o p genérico:
T(p)(x)=p'(x)+p''(x)=(2ax+b) + (2a).
Colocando como polinômio em base padrão \{x^{2},x,1\}:
  • coeficiente de x^{2} é 0,
  • coeficiente de x é 2a,
  • coeficiente constante é b+2a.
    Logo
T(p)(x)=0\cdot x^{2} + (2a)\,x + (b+2a).

Passo 4

Encontre o núcleo: por definição \ker(T)=\{p\in\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R})\mid T(p)=0\}, onde 0 é o polinômio nulo (todos os coeficientes iguais a zero).
Para T(p) ser o polinômio nulo precisamos que os coeficientes sejam zero:
2a=0,\qquad b+2a=0.
Da primeira equação vem a=0. Substituindo em b+2a=0 obtemos b=0. Não há nenhuma condição sobre c (o termo constante c desapareceu em T(p)), então c é livre.
Portanto os polinômios do núcleo são exatamente os polinômios constantes p(x)=c. Assim um gerador (base) para \ker(T) é o polinômio constante 1.
Resumo:
\ker(T)=\{c\mid c\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{1\}.

Passo 5

Encontre a imagem: uma maneira prática é aplicar T à base padrão \{x^{2},x,1\} e ver o span das imagens.
Calcule:
T(x^{2})=(x^{2})'+(x^{2})''=2x+2,
T(x)= (x)'+(x)''=1+0=1,
T(1)=(1)'+(1)''=0+0=0.
Logo a imagem está contida em \operatorname{span}\{\,2x+2,\;1,\;0\,\}=\operatorname{span}\{2x+2,\;1\}.
Verificamos se 2x+2 e 1 são linearmente independentes: suponha \alpha(2x+2)+\beta\cdot 1=0. Então 2\alpha x+(2\alpha+\beta)=0 para todo x, o que força \alpha=0 e \beta=0. Logo são independentes.
Observação útil: como (2x+2)-2\cdot 1 = 2x, temos também x\in\operatorname{span}\{2x+2,1\}. Assim
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{2x+2,\;1\}=\operatorname{span}\{x,\;1\},
ou seja, a imagem é o subespaço dos polinômios de grau no máximo 1 (toda reta afim passando pela origem em termos de coeficientes): \mathscr{P}_{1}(\mathbb{R}). Como base mais simples podemos escolher \{x,1\}.

Passo 6

Checagem rápida pelo teorema da dimensão (rank-nullity): \dim \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R})=3. Encontramos \dim\ker(T)=1 e \dim\operatorname{Im}(T)=2. Como 1+2=3, está consistente.

Resposta

Base do núcleo: \{1\}
Base da imagem: \{x,1\}

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