Exercício 6. Determinar bases para o núcleo e para a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo.
, dada por
, para
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
para todo
. A tarefa é determinar:
- uma base para o núcleo de
(ou seja, o conjunto ); - uma base para a imagem de
(ou seja, o conjunto ).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Não há outras restrições; a transformação usa as derivadas primeira e segunda.
Passo 2
Vamos escrever um polinômio genérico de
e calcular suas derivadas (aqui uma mini-aula sobre derivadas de polinômios).
- Regra: se
então . Para polinômios, derivada é feita termo a termo e a derivada de constante é zero. - Tome
com .
Então:
Esses resultados vieram aplicando a regra termo a termo:
,
,
; e para a segunda derivada derivamos novamente.
Passo 3
Agora calcule
para o
genérico:
Colocando como polinômio em base padrão
:
- coeficiente de
é , - coeficiente de
é , - coeficiente constante é
.
Logo
Passo 4
Encontre o núcleo: por definição
, onde
é o polinômio nulo (todos os coeficientes iguais a zero).
Para ser o polinômio nulo precisamos que os coeficientes sejam zero:
Para
Da primeira equação vem
. Substituindo em
obtemos
. Não há nenhuma condição sobre
(o termo constante
desapareceu em
), então
é livre.
Portanto os polinômios do núcleo são exatamente os polinômios constantes . Assim um gerador (base) para
é o polinômio constante
.
Resumo:
Portanto os polinômios do núcleo são exatamente os polinômios constantes
Resumo:
Passo 5
Encontre a imagem: uma maneira prática é aplicar
à base padrão
e ver o span das imagens.
Calcule:
Calcule:
Logo a imagem está contida em
.
Verificamos se e
são linearmente independentes: suponha
. Então
para todo
, o que força
e
. Logo são independentes.
Observação útil: como , temos também
. Assim
Verificamos se
Observação útil: como
ou seja, a imagem é o subespaço dos polinômios de grau no máximo
(toda reta afim passando pela origem em termos de coeficientes):
. Como base mais simples podemos escolher
.
Passo 6
Checagem rápida pelo teorema da dimensão (rank-nullity):
. Encontramos
e
. Como
, está consistente.
Resposta
Base do núcleo:
Base da imagem:
Base da imagem: