Exercício 7. Seja
uma matriz
. Se
, calcule:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa simples:
- Foi dada uma matriz
de tamanho . - Sabe-se que
. - A pergunta é: calcular
.
Passo 2
Propriedade-chave que vamos usar (explicação e intuição):
- Para duas matrizes quadradas
e do mesmo tamanho vale a propriedade
Intuição geométrica: a determinante mede quanto uma transformação linear escala volumes orientados. Fazer duas transformações em sequência multiplica os fatores de escala, logo os determinantes multiplicam-se. Isso é suficiente para resolver o problema prático aqui.
Exemplo numérico simples para ver como funciona na prática: se
então
. A matriz ao quadrado é
e
, que é
. Ou seja, parece razoável que
.]
Passo 3
Prova por indução curta da fórmula
para inteiro
:
- Base
: . OK. - Passo indutivo: suponha
. Então
Assim a fórmula vale para todo
natural. Aplicando com
obtemos
Passo 4
Aplicando os números do enunciado: como
, temos
Calculemos a potência:
logo
.