Exercício 7. Seja A uma matriz 5 \times 5. Se \operatorname{det}(A)=-3, calcule:
\operatorname{det}\left(A^{3}\right)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa simples:
  • Foi dada uma matriz A de tamanho 5\times5.
  • Sabe-se que \operatorname{det}(A) = -3.
  • A pergunta é: calcular \operatorname{det}\!\left(A^{3}\right).

Passo 2

Propriedade-chave que vamos usar (explicação e intuição):
  • Para duas matrizes quadradas X e Y do mesmo tamanho vale a propriedade
\operatorname{det}(XY)=\operatorname{det}(X)\,\operatorname{det}(Y).
Intuição geométrica: a determinante mede quanto uma transformação linear escala volumes orientados. Fazer duas transformações em sequência multiplica os fatores de escala, logo os determinantes multiplicam-se. Isso é suficiente para resolver o problema prático aqui.
Exemplo numérico simples para ver como funciona na prática: se
B=\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix},
então \operatorname{det}(B)=2\cdot3=6. A matriz ao quadrado é
B^{2}=\begin{pmatrix}4 & 0 \\[4pt] 0 & 9\end{pmatrix},
e \operatorname{det}(B^{2})=4\cdot9=36, que é 6^{2}=\operatorname{det}(B)^{2}. Ou seja, parece razoável que \operatorname{det}(B^{k})=\operatorname{det}(B)^{k}.]

Passo 3

Prova por indução curta da fórmula \operatorname{det}(A^{k})=\operatorname{det}(A)^{k} para inteiro k\ge1:
  • Base k=1: \operatorname{det}(A^{1})=\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(A)^{1}. OK.
  • Passo indutivo: suponha \operatorname{det}(A^{k})=\operatorname{det}(A)^{k}. Então
\operatorname{det}(A^{k+1})=\operatorname{det}(A^{k}A)=\operatorname{det}(A^{k})\,\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(A)^{k}\,\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(A)^{k+1}.
Assim a fórmula vale para todo k natural. Aplicando com k=3 obtemos
\operatorname{det}\!\left(A^{3}\right)=\operatorname{det}(A)^{3}.

Passo 4

Aplicando os números do enunciado: como \operatorname{det}(A) = -3, temos
\operatorname{det}\!\left(A^{3}\right)=\bigl(\operatorname{det}(A)\bigr)^{3}=(-3)^{3}.
Calculemos a potência:
(-3)^{2}=9,\qquad 9\cdot(-3)=-27,
logo (-3)^{3}=-27.

Resposta

-27

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