Exercício 7. Seja A uma matriz 5 \times 5. Se \operatorname{det}(A)=-3, calcule:
\operatorname{det}\left(A^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A é uma matriz 5 \times 5.
  • \det(A) = -3.
    O que se pede: calcular \det\!\left(A^{2}\right).

Passo 2

Entender o que significa A^{2}: por definição
A^{2}=A\cdot A,
ou seja, é o produto da matriz A por ela mesma.

Passo 3

Usar a propriedade fundamental dos determinantes: para quaisquer matrizes quadradas X e Y de mesma ordem vale
\det(XY)=\det(X)\det(Y).
Uma forma intuitiva de ver isso é lembrar que \det mede o fator de escala (volume orientado) que a transformação linear associada aplica; ao compor duas transformações, os fatores de escala se multiplicam. Esta é uma propriedade padrão e vale para matrizes n\times n.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao caso A^{2}=A\cdot A obtemos
\det\!\left(A^{2}\right)=\det(A\cdot A)=\det(A)\det(A)=\det(A)^{2}.

Passo 5

Substituindo o valor dado \det(A)=-3 temos
\det\!\left(A^{2}\right)=\bigl(-3\bigr)^{2}.

Resposta

9

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