Exercício 1: Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(x, y, z)=(x-y+2 z, x+2 y, x+y+z).
a. Prove que T é bijetora e determine T^{-1}(x, y, z)
b. Determine a matriz de T em relação à base canônica.
c. Determine a matriz de T em relação à base \beta=\{(1,2,1),(1,1,1),(1,1,0)\}
Passo 1
O enunciado define a transformação linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por
T(x,y,z) = (x - y + 2z,\; x + 2y,\; x + y + z).
Pede-se em (a) mostrar que T é bijetora e achar T^{-1}, em (b) obter a matriz de T na base canônica, e em (c) obter a matriz de T na base \beta = \{(1,2,1),(1,1,1),(1,1,0)\}.
Passo 2
Para achar a matriz de T na base canônica, basta calcular T em cada vetor da base (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1): T(1,0,0) = (1,1,1), T(0,1,0) = (-1,2,1), T(0,0,1) = (2,0,1).
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