Exercício 1: Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(x, y, z)=(x-y+2 z, x+2 y, x+y+z).
a. Prove que T é bijetora e determine T^{-1}(x, y, z)
b. Determine a matriz de T em relação à base canônica.
c. Determine a matriz de T em relação à base \beta=\{(1,2,1),(1,1,1),(1,1,0)\}

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por
T(x,y,z) = (x - y + 2z,\; x + 2y,\; x + y + z).
Pede-se em (a) mostrar que T é bijetora e achar T^{-1}, em (b) obter a matriz de T na base canônica, e em (c) obter a matriz de T na base \beta = \{(1,2,1),(1,1,1),(1,1,0)\}.

Passo 2

Para achar a matriz de T na base canônica, basta calcular T em cada vetor da base
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1):
T(1,0,0) = (1,1,1),
T(0,1,0) = (-1,2,1),
T(0,0,1) = (2,0,1).
Logo
[T]_{\text{can}} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\\\ 1 & 2 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante dessa matriz para ver se T é invertível:
\det \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\\\ 1 & 2 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = 1\cdot(2\cdot1-0\cdot1) -(-1)\cdot(1\cdot1-0\cdot1) +2\cdot(1\cdot1-2\cdot1) =2 +1 +2(-1)=1\neq0.
Como \det\neq0, a matriz é invertível, logo T é bijetora.

Passo 4

Para encontrar T^{-1}, resolvemos
x - y + 2z = u,\quad x + 2y = v,\quad x + y + z = w
em função de (u,v,w). Desta equação segue
y = 2w - u - v,
z = 3w - u - 2v,
x = 2u + 3v - 4w.
Portanto, para (u,v,w)\in\mathbb{R}^3,
T^{-1}(u,v,w) = \bigl(2u+3v-4w,\;-u-v+2w,\;-u-2v+3w\bigr).

Passo 5

Para achar [T]_{\beta}, calculamos T em cada vetor de \beta e escrevemos em coordenadas de \beta:
  1. v_1=(1,2,1)\Rightarrow T(v_1)=(1,5,4)=4\,v_1+0\,v_2-3\,v_3.
  2. v_2=(1,1,1)\Rightarrow T(v_2)=(2,3,3)=1\,v_1+2\,v_2-1\,v_3.
  3. v_3=(1,1,0)\Rightarrow T(v_3)=(0,3,2)=3\,v_1-1\,v_2-2\,v_3.
    Assim
[T]_{\beta} = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 3\\\\ 0 & 2 & -1\\\\ -3 & -1 & -2 \end{pmatrix},
cuja j-ésima coluna são as coordenadas de T(v_j) em \beta.

Resposta

a) T é bijetora pois \det[T]_{\text{can}}=1\neq0.
T^{-1}(x,y,z) = \bigl(2x+3y-4z,\;-x-y+2z,\;-x-2y+3z\bigr).
b)
[T]_{\text{can}} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\\\ 1 & 2 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
c)
[T]_{\beta} = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 3\\\\ 0 & 2 & -1\\\\ -3 & -1 & -2 \end{pmatrix}.

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