Exercício 3 Seja
espaço das matrizes de quadradas de ordem
e
.
(a) Determine
;
(b) Ache uma base de
e determine a dimensão;
(c) Ache uma base de
e determine a dimensão;
(d) Determine
. A soma é direta?
(a) Determine
(b) Ache uma base de
(c) Ache uma base de
(d) Determine
Passo 1
O enunciado considera o espaço
de todas as matrizes reais quadradas de ordem
e dois subespaços:
(simétricas) e
(anti-simétricas). Vamos usar definições de subespaço, propriedades da transposta, contagem de parâmetros em matrizes e a decomposição de qualquer matriz em parte simétrica e anti-simétrica.
Passo 2
Para achar
, seja
numa matriz que é simultaneamente simétrica e anti-simétrica. Então temos
e
. Igualando as duas expressões, vem
, ou seja,
e, portanto,
. Logo
Passo 3
Uma base natural de
surge ao notar que em matrizes simétricas
. Há
elementos independentes na diagonal e
fora dela, totalizando
. Podemos escolher como base
Passo 4
Passo 5
onde
tem 1 na posição
e 0 nos demais lugares. Daí
.
Passo 6
Para
, em matrizes anti-simétricas vale
e
. Só há liberdade nos
elementos acima da diagonal. Uma base é
Passo 7
Passo 8
logo
.
Passo 9
Qualquer matriz
em
se decompõe unicamente em parte simétrica e anti-simétrica via
Passo 10
Passo 11
onde
e
. Isso mostra que
e, como
, a soma é direta.
Resposta
a)
.
b) Uma base de é
e
.
c) Uma base de é
e
.
d) e a soma é direta (
).
b) Uma base de
c) Uma base de
d)