Exercício 3 Seja Mn times n(R) espaço das matrizes de quadradas de ordem n, W1=A in Mn times n(R) mid A^t=A e W2=A in Mn times n(R) mid A^t=-A.
(a) Determine W1 cap W2;
(b) Ache uma base de W1 e determine a dimensão;
(c) Ache uma base de W1 e determine a dimensão;
(d) Determine W1+W2. A soma é direta?

Passo 1

O enunciado considera o espaço Mntimes n(R) de todas as matrizes reais quadradas de ordem n e dois subespaços: W1=Amid A^T=A (simétricas) e W2=Amid A^T=-A (anti-simétricas). Vamos usar definições de subespaço, propriedades da transposta, contagem de parâmetros em matrizes e a decomposição de qualquer matriz em parte simétrica e anti-simétrica.

Passo 2

Para achar W1cap W2, seja A numa matriz que é simultaneamente simétrica e anti-simétrica. Então temos A^T=A e A^T=-A. Igualando as duas expressões, vem A=-A, ou seja, 2A=0 e, portanto, A=0. Logo

Passo 3

Uma base natural de W1 surge ao notar que em matrizes simétricas aij=aji. Há n elementos independentes na diagonal e n(n-1)/2 fora dela, totalizando n(n+1)/2. Podemos escolher como base

Passo 4

Eiimid i=1,dots,n;cup;Eij+Ejimid 1<= i<j<= n,

Passo 5

onde Eij tem 1 na posição (i,j) e 0 nos demais lugares. Daí dim W1=n(n+1)2.

Passo 6

Para W2, em matrizes anti-simétricas vale aii=0 e aij=-aji. Só há liberdade nos n(n-1)/2 elementos acima da diagonal. Uma base é

Passo 7

Eij-Ejimid 1<= i<j<= n,

Passo 8

logo dim W2=n(n-1)2.

Passo 9

Qualquer matriz A em Mntimes n(R) se decompõe unicamente em parte simétrica e anti-simétrica via

Passo 10

A=A+A^T2;+ racA-A^T2,

Passo 11

onde (A+A^T)/2in W1 e (A-A^T)/2in W2. Isso mostra que W1+W2=Mntimes n(R) e, como W1cap W2=0, a soma é direta.

Resposta

a) W1cap W2=0.
b) Uma base de W1 é Eii:i=1,dots,ncupEij+Eji:1<= i<j<= n e dim W1=tfracn(n+1)2.
c) Uma base de W2 é Eij-Eji:1<= i<j<= n e dim W2=tfracn(n-1)2.
d) W1+W2=Mntimes n(R) e a soma é direta ( Mntimes n(R)=W1oplus W2).

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