Exercício 2 Seja V um espaço vetorial sobre R tal que dimR V=2025. Mostre que existem W1, W2 subespaços de V tais que dimR W1=1012, dimR W2=1013 e V=W1 oplus W2.

Passo 1

O exercício pede para mostrar que, dado um espaço vetorial real V de dimensão 2025, podemos encontrar dois subespaços W₁ e W₂ com dimensões 1012 e 1013 respectivamente, de modo que V seja soma direta de W₁ e W₂. O conteúdo principal que vamos usar é o conceito de base de um espaço vetorial e o fato de que toda base tem número de vetores igual à dimensão, além de que a partição de uma base gera decomposição em soma direta.

Passo 2

Como V é de dimensão 2025, podemos escolher uma base de V com exatamente 2025 vetores. Denote essa base por B = {v₁, v₂, …, v₂₀₂₅}.

Passo 3

Agora particionamos essa base em dois subconjuntos disjuntos: B₁ = {v₁, v₂, …, v₁₀₁₂} e B₂ = {v₁₀₁₃, v₁₀₁₄, …, v₂₀₂₅}. Note que |B₁| = 1012 e |B₂| = 2025 − 1012 = 1013.

Passo 4

Definimos W₁ = span(B₁) e W₂ = span(B₂). Por construção, W₁ e W₂ são subespaços de V gerados pelos vetores de B₁ e B₂, respectivamente.

Passo 5

Como B₁ e B₂ são partes de uma base de V, temos dim W₁ = |B₁| = 1012 e dim W₂ = |B₂| = 1013.

Passo 6

Para ver que V = W₁ + W₂, note que todo vetor de V é combinação linear de vetores de B, e estes estão todos em B₁ ∪ B₂, logo pode ser escrito como soma de algo em W₁ com algo em W₂.

Passo 7

Para mostrar que a soma é direta, bastar ver que W₁ ∩ W₂ = {0}. Qualquer combinação linear de vetores de B₁ que seja também combinação de vetores de B₂ deve ter coeficientes todos nulos, pois B₁ ∪ B₂ é base (vetores são linearmente independentes). Portanto V = W₁ ⊕ W₂.

Resposta

Basta pegar uma base de V com 2025 vetores, dividir em 1012 e 1013 vetores, e definir W₁ e W₂ como os spans dessas partes. Isso garante dim W₁=1012, dim W₂=1013 e V=W₁⊕W₂.

Exercícios relacionados