- Seja
. Sabendo que
e que
, determinar:
(a) As intersecções com os eixos coordenados.
(b) As assíntotas que existirem.
(c) Os intervalos de crescimento e decrescimento.
(d) Os valores máximos e mínimos locais de
.
(e) Os intervalos onde
é côncava para cima, os intervalos onde
é côncava para baixo e seus pontos de inflexão.
(f) Esboce a curva usando as informações dos itens anteriores.
(a) As intersecções com os eixos coordenados.
(b) As assíntotas que existirem.
(c) Os intervalos de crescimento e decrescimento.
(d) Os valores máximos e mínimos locais de
(e) Os intervalos onde
(f) Esboce a curva usando as informações dos itens anteriores.
Passo 1
O enunciado dá a função
com
Queremos determinar: (a) interceptos com eixos, (b) assíntotas, (c) intervalos de crescimento/decrescimento, (d) extremos locais, (e) concavidade e pontos de inflexão, (f) esboço da curva.
Passo 2
Para as intersecções com os eixos:
– Eixo em
:
– Eixo
Logo há intersecção em
.
– Eixo quando
:
– Eixo
Intersecções em
.
Passo 3
Assíntotas verticais surgem de
, isto é, em
.
Para a horizontal, calculamos
Para a horizontal, calculamos
Logo há a assíntota horizontal
.
Passo 4
O sinal de
depende apenas de
, pois
em todo o domínio.
Se ,
(cresce); se
,
(decresce).
Considerando os intervalos de domínio ,
e
, concluímos:
– Cresce em .
– Decresce em .
Se
Considerando os intervalos de domínio
– Cresce em
– Decresce em
Passo 5
Extremos locais vêm de solução de
que é
.
Como muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita) em
,
tem um máximo local em
.
O valor é .
Não há pontos de mínimo local, pois não há outra raiz de no domínio.
Como
O valor é
Não há pontos de mínimo local, pois não há outra raiz de
Passo 6
O sinal de
é dado por
, já que
.
– Para ,
(côncavo para cima).
– Para ,
(côncavo para baixo).
A mudança de concavidade ocorre em , mas aí
não está definida, logo não há pontos de inflexão no domínio.
– Para
– Para
A mudança de concavidade ocorre em
Passo 7
Esboço qualitativo da curva:
– Em ,
(horizontal) por baixo; cresce concavo para cima até a assíntota vertical
.
– No ramo cresce concavo para baixo, cruza em
e atinge o máximo local
.
– Em decresce concavo para baixo, cruza em
e tende a
em
.
– Em sai de
, decresce concavo para cima e aproxima-se de
por cima.
– Em
– No ramo
– Em
– Em
Resposta
(a) Intersecções: com o eixo
em
; com o eixo
em
.
(b) Assíntotas: verticais ; horizontal
.
(c) Cresce em ; decresce em
.
(d) Máximo local em ; não há mínimo local.
(e) Côncava para cima em ; côncava para baixo em
; sem pontos de inflexão no domínio.
(f) Esboço: dois ramos assimétricos com assíntotas verticais em e horizontal em
, conforme descrito no passo anterior.
(b) Assíntotas: verticais
(c) Cresce em
(d) Máximo local em
(e) Côncava para cima em
(f) Esboço: dois ramos assimétricos com assíntotas verticais em