1. Seja f(x)=x^2x^2-4+1. Sabendo que f^prime(x)=-8 x(x^2-4)^2 e que f^prime prime(x)= 24 x^2+32(x^2-4)^3, determinar:
    (a) As intersecções com os eixos coordenados.
    (b) As assíntotas que existirem.
    (c) Os intervalos de crescimento e decrescimento.
    (d) Os valores máximos e mínimos locais de f.
    (e) Os intervalos onde f é côncava para cima, os intervalos onde f é côncava para baixo e seus pontos de inflexão.
    (f) Esboce a curva usando as informações dos itens anteriores.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^2x^2-4+1,
com
f'(x)=-8x(x^2-4)^2 e f''(x)=24x^2+32(x^2-4)^3
Queremos determinar: (a) interceptos com eixos, (b) assíntotas, (c) intervalos de crescimento/decrescimento, (d) extremos locais, (e) concavidade e pontos de inflexão, (f) esboço da curva.

Passo 2

Para as intersecções com os eixos:
– Eixo y em x=0:
f(0)=0-4+1=1
Logo há intersecção em (0,1).
– Eixo x quando f(x)=0:
x^2x^2-4+1=0 Longrightarrow x^2x^2-4=-1 Longrightarrow x^2=-(x^2-4) Longrightarrow 2x^2=4 Longrightarrow x=pmraiz2
Intersecções em l(pmraiz2,0r).

Passo 3

Assíntotas verticais surgem de x^2-4=0, isto é, em x=pm2.
Para a horizontal, calculamos
limxtoinftyf(x) =limxtoinftyl(x^2x^2-4+1r) =1+1=2
Logo há a assíntota horizontal y=2.

Passo 4

O sinal de
f'(x)=-8x(x^2-4)^2
depende apenas de -8x, pois (x^2-4)^2>0 em todo o domínio.
Se x<0, f'(x)>0 (cresce); se x>0, f'(x)<0 (decresce).
Considerando os intervalos de domínio (-infty,-2), (-2,2) e (2,infty), concluímos:
– Cresce em (-infty,-2)cup(-2,0).
– Decresce em (0,2)cup(2,infty).

Passo 5

Extremos locais vêm de solução de f'(x)=0 que é x=0.
Como f' muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita) em x=0, f tem um máximo local em x=0.
O valor é f(0)=1.
Não há pontos de mínimo local, pois não há outra raiz de f' no domínio.

Passo 6

O sinal de
f''(x)=24x^2+32(x^2-4)^3
é dado por (x^2-4)^3, já que 24x^2+32>0.
– Para |x|>2, x^2-4>0 ;Longrightarrow f''(x)>0 (côncavo para cima).
– Para |x|<2, x^2-4<0 ;Longrightarrow f''(x)<0 (côncavo para baixo).
A mudança de concavidade ocorre em x=pm2, mas aí f não está definida, logo não há pontos de inflexão no domínio.

Passo 7

Esboço qualitativo da curva:
– Em xto-infty, f(x)to2 (horizontal) por baixo; cresce concavo para cima até a assíntota vertical x=-2.
– No ramo (-2,0) cresce concavo para baixo, cruza em (-,raiz2,0) e atinge o máximo local (0,1).
– Em (0,2) decresce concavo para baixo, cruza em (raiz2,0) e tende a -infty em xto2^-.
– Em (2,infty) sai de +infty, decresce concavo para cima e aproxima-se de y=2 por cima.

Resposta

(a) Intersecções: com o eixo x em l(pmraiz2,0r); com o eixo y em (0,1).
(b) Assíntotas: verticais x=pm2; horizontal y=2.
(c) Cresce em (-infty,-2)cup(-2,0); decresce em (0,2)cup(2,infty).
(d) Máximo local em l(0,1r); não há mínimo local.
(e) Côncava para cima em (-infty,-2)cup(2,infty); côncava para baixo em (-2,2); sem pontos de inflexão no domínio.
(f) Esboço: dois ramos assimétricos com assíntotas verticais em x=pm2 e horizontal em y=2, conforme descrito no passo anterior.

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