Exercício 5. Seja Omega subset R^d um domínio aberto limitado e com fronteira de classe C^1. A partir do Teorema da Divergência, mostre as seguintes identidades. Como dica, usar identidades do Exercício 2.
Para funções u: Omega longrightarrow R e v: Omega longrightarrow R de classe C^1(barOmega), vale ^2
integralOmega v(x) De<a u(x) d x=-integralOmega nabla u(x) cdot nabla v(x) d x+integralpartial Omega v(x) partial upartial nu(x) d sigma(x)
Esta fórmula de integração por partes também é conhecida como Primeira Fórmula de Green.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, usando o Teorema da Divergência, a primeira fórmula de Green
integralOmega v(x),De<a u(x),dx ;=; -integralOmeganabla u(x)cdotnabla v(x),dx ;+;integralpartialOmegav(x),partial upartialnu(x),dsigma(x),
onde nu é a normal exterior unitária a partialOmega. Vamos usar a identidade do Exercício 2 sobre divergência de produto escalar e, em seguida, aplicar o Teorema da Divergência.

Passo 2

Lembramos a identidade de cálculo vetorial para u,vin C^1(barOmega):
divl(v,nabla ur) =nabla vcdotnabla u ;+;v,De<a u

Passo 3

Integramos essa expressão sobre Omega e aplicamos o Teorema da Divergência (que vale porque partialOmega é C^1):
integralOmegadivl(v,nabla ur),dx =integralpartialOmegav,nabla ucdotnu,dsigma
Pelo lado esquerdo, usando a identidade do passo anterior, temos
integralOmegal(nabla vcdotnabla u + v,De<a ur),dx =integralpartialOmegav,partial upartialnu,dsigma

Passo 4

Agora isolamos o termo com De<a u:
integralOmegav,De<a u,dx =integralpartialOmegav,partial upartialnu,dsigma -integralOmeganabla vcdotnabla u,dx
Basta notar que nabla vcdotnabla u=nabla ucdotnabla v.

Resposta

boxedintegralOmegav,De<a u,dx =-integralOmeganabla ucdotnabla v,dx +integralpartialOmegav,partial upartialnu,dsigma

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