Exercício 5. Seja
um domínio aberto limitado e com fronteira de classe
. A partir do Teorema da Divergência, mostre as seguintes identidades. Como dica, usar identidades do Exercício 2.
Para funções
e
de classe
, vale
Esta fórmula de integração por partes também é conhecida como Primeira Fórmula de Green.
Para funções
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, usando o Teorema da Divergência, a primeira fórmula de Green
onde
é a normal exterior unitária a
. Vamos usar a identidade do Exercício 2 sobre divergência de produto escalar e, em seguida, aplicar o Teorema da Divergência.
Passo 2
Lembramos a identidade de cálculo vetorial para
:
Passo 3
Integramos essa expressão sobre
e aplicamos o Teorema da Divergência (que vale porque
é
):
Pelo lado esquerdo, usando a identidade do passo anterior, temos
Passo 4
Agora isolamos o termo com
:
Basta notar que
.