5.4B Resolva por integração formal, indicando onde a solução está definida:
raiz1-y^2 d x+(1+x^2) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
raiz1-y^2,dx + l(1+x^2r),dy = 0
e pede para resolver por integração formal, indicando onde a solução está definida. O conteúdo que vamos usar é o método de separação de variáveis.

Passo 2

Vamos separar variáveis, isolando tudo que depende de x de um lado e tudo que depende de y do outro. Partindo de
raiz1-y^2,dx = -l(1+x^2r),dy
dividimos ambos os lados por l(1+x^2r)raiz1-y^2, obtendo
dx1+x^2 = -dyraiz1-y^2

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral dx1+x^2 = integral -dyraiz1-y^2

Passo 4

As primitivas são conhecidas:
integral dx1+x^2 = arctan x, integral dyraiz1-y^2 = arcsin y
Logo
arctan x = -,arcsin y + C Longrightarrow arctan x + arcsin y = C,
que é a forma implícita da solução geral.

Passo 5

Para que tudo faça sentido, precisamos de 1+x^2>0 (sempre verdade para todo xinR) e de raiz1-y^2 real, isto é -1<y<1. Além disso arcsin y está definido exatamente em yin[-1,1], mas a raiz exige -1<y<1. Portanto a solução está bem definida para
xinR, yin(-1,1)

Resposta

boxedarctan x + arcsin y = C, xinR,;yin(-1,1)

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