Exercício 5. Seja
um domínio aberto limitado e com fronteira de classe
. A partir do Teorema da Divergência, mostre as seguintes identidades. Como dica, usar identidades do Exercício 2.
Para funções
, vale a seguinte fórmula de integração por partes, em forma vetorial,
Para funções
Passo 1
O enunciado considera um domínio aberto e limitado
com fronteira de classe
e pede para deduzir, a partir do Teorema da Divergência, a fórmula de integração por partes vetorial
Vamos usar o Teorema da Divergência e a regra do produto para gradiente (Exercício 2).
Passo 2
Recordando o Teorema da Divergência: se
é
, então
Passo 3
Escolha um vetor constante
e defina o campo vetorial
Como
é fixo, tem-se
Pelo Teorema da Divergência,
Passo 4
Como o vetor
é arbitrário, podemos “cancelá-lo” e obter a identidade vetorial
Passo 5
Pela regra do produto para gradiente (Exercício 2),
Logo
Passo 6
Basta reordenar os termos da integral sobre
:
que é exatamente a fórmula de integração por partes vetorial pedida.