Exercício 5. Seja Omega subset R^d um domínio aberto limitado e com fronteira de classe C^1. A partir do Teorema da Divergência, mostre as seguintes identidades. Como dica, usar identidades do Exercício 2.
Para funções u, v: Omega longrightarrow R, vale a seguinte fórmula de integração por partes, em forma vetorial,
integralOmega v(x) nabla u(x) d x=-integralOmega u(x) nabla v(x) d x+integralpartial Omega u(x) v(x) nu(x) d sigma(x)

Passo 1

O enunciado considera um domínio aberto e limitado OmegasubsetR^d com fronteira de classe C^1 e pede para deduzir, a partir do Teorema da Divergência, a fórmula de integração por partes vetorial
integralOmegav(x),nabla u(x),dx ;=; -,integralOmegau(x),nabla v(x),dx ;+; integralpartialOmegau(x),v(x),nu(x),dsigma(x)
Vamos usar o Teorema da Divergência e a regra do produto para gradiente (Exercício 2).

Passo 2

Recordando o Teorema da Divergência: se F:OmegatoR^d é C^1, então
integralOmeganabla!cdot F(x),dx ;=;integralpartialOmegaF(x)!cdotnu(x),dsigma(x)

Passo 3

Escolha um vetor constante AinR^d e defina o campo vetorial
F(x)=l(u(x),v(x)r),A
Como A é fixo, tem-se
nabla!cdot F(x) = Acdotnablal(u(x),v(x)r)
Pelo Teorema da Divergência,
integralOmegaAcdotnablal(u,vr),dx =integralpartialOmega(u,v),l(Acdotnur),dsigma

Passo 4

Como o vetor A é arbitrário, podemos “cancelá-lo” e obter a identidade vetorial
integralOmeganablal(u,vr),dx =integralpartialOmegau,v;nu,dsigma

Passo 5

Pela regra do produto para gradiente (Exercício 2),
nablal(u,vr) = u,nabla v ;+; v,nabla u
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integralOmegal(u,nabla v + v,nabla ur),dx =integralpartialOmegau,v,nu,dsigma

Passo 6

Basta reordenar os termos da integral sobre Omega:
integralOmegav,nabla u,dx = -integralOmegau,nabla v,dx +integralpartialOmegau,v,nu,dsigma,
que é exatamente a fórmula de integração por partes vetorial pedida.

Resposta

boxed integralOmegav(x),nabla u(x),dx = -integralOmegau(x),nabla v(x),dx + integralpartial Omegau(x),v(x),nu(x),dsigma(x)

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