5.4H Determine um fator integrante para cada uma das edo’s abaixo e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas:
(y+x^3 y^3) d x+x d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(y + x^3y^3r),dx + x,dy = 0
que é do tipo M(x,y),dx + N(x,y),dy=0. Aqui o conteúdo é fator integrante e equações exatas: vamos identificar M e N, verificar a não exatidão, encontrar um fator integrante conveniente e então achar a solução geral em forma implícita.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=y + x^3y^3, N(x,y)=x
Para verificar se é exata calculamos
partial Mpartial y =1 + 3x^3y^2, partial Npartial x =1
Como partial M/partial y neq partial N/partial x, a equação não é exata e precisamos de um fator integrante.

Passo 3

Procuramos um fator integrante da forma
Para que seja exata queremos
Calculando ambas as derivadas e igualando os coeficientes de e de obtemos o sistema
cuja solução é . Logo

Passo 4

Multiplicando a equação original por mu
l(tfracy + x^3y^3x^3y^3r),dx + tfracxx^3y^3,dy =l(tfrac1x^3y^2 + 1r),dx + tfrac1x^2y^3,dy =0
Chamemos
widetilde M = 1 + x^-3y^-2, widetilde N = x^-2y^-3
Verificamos a exatidão:
partial widetilde Mpartial y =-2x^-3y^-3, partial widetilde Npartial x =-2x^-3y^-3,
logo a forma é exata.

Passo 5

Como é exata, existe psi(x,y) tal que
partial psipartial x = widetilde M =1 + x^-3y^-2
Integramos em relação a x:
psi(x,y) =integral!(1 + x^-3y^-2),dx = x - 12,x^2y^2 + h(y)
Agora impomos
partial psipartial y =partialpartial yl(x - tfrac12x^2y^2 + h(y)r) = tfrac1x^2y^3 + h'(y) stackrel!=widetilde N =tfrac1x^2y^3
Daí h'(y)=0, isto é, h é constante.

Passo 6

A função potencial é
psi(x,y) = x - 12,x^2y^2 =constante
Essa igualdade dá a solução geral implícita.

Resposta

Fator integrante: mu(x,y)=1x^3y^3.
Solução geral (implícita):
x - 12,x^2y^2 = C,
onde C é constante de integração.

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