5.4H Determine um fator integrante para cada uma das edo’s abaixo e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
que é do tipo
. Aqui o conteúdo é fator integrante e equações exatas: vamos identificar
e
, verificar a não exatidão, encontrar um fator integrante conveniente e então achar a solução geral em forma implícita.
Passo 2
Identificamos
Para verificar se é exata calculamos
Como
, a equação não é exata e precisamos de um fator integrante.
Passo 3
Procuramos um fator integrante da forma
Para que
seja exata queremos
Calculando ambas as derivadas e igualando os coeficientes de
e de
obtemos o sistema
cuja solução é . Logo
Passo 4
Multiplicando a equação original por
dá
Chamemos
Verificamos a exatidão:
logo a forma é exata.
Passo 5
Como é exata, existe
tal que
Integramos em relação a
:
Agora impomos
Daí
, isto é,
é constante.
Passo 6
A função potencial é
Essa igualdade dá a solução geral implícita.
Resposta
Fator integrante:
.
Solução geral (implícita):
onde
é constante de integração.