Exercício 4. Seja
uma norma sobre o espaço vetorial
(real ou complexo). Considere a identidade do paralelogramo:
válida para quaisquer
. Mostre que a norma de
é induzida por um produto interno se, e somente se, a identidade do paralelogramo vale para quaisquer pares de vetores de
.
Passo 1
O enunciado afirma que, num espaço vetorial
(sobre
ou
), uma norma
é induzida por um produto interno
se, e somente se, para todos
vale a identidade do paralelogramo
O conteúdo envolvido é a relação entre normas e produtos internos e a técnica principal será usar a expansão de
no caso já induzido e, na outra mão, definir o produto interno via identidade de polarização.
Passo 2
Suponha que
é induzida por um produto interno
. Então, por definição,
Somando essas duas igualdades obtemos exatamente
que é a identidade do paralelogramo.
Passo 3
Agora suponha que
satisfaz a identidade do paralelogramo para todos
. Vamos construir um produto interno cuja norma seja a dada. No caso real definimos para
:
Pelo lado da positividade, tomando
vem
e vale
só se
. A simetria
segue trocando
e
na fórmula. A bilinearidade em cada argumento se verifica expandindo
e
e usando repetidamente a identidade do paralelogramo para combinações lineares, de modo análogo à prova padrão em álgebra linear.
Passo 4
No caso complexo usamos a forma completa da identidade de polarização: para
definimos
Mostra-se que esta forma é sesquilinear, conjugado‐simétrica e positiva definida, e que sua norma
coincide com
. A verificação também usa a identidade do paralelogramo aplicada a
e
.
Resposta
Mostramos que (1) se a norma vem de um produto interno, então a identidade do paralelogramo vale por expansão; (2) se a norma satisfaz a identidade do paralelogramo, então definindo o produto interno via identidade de polarização (fórmula no caso real e no caso complexo) obtemos um produto interno cuja norma é exatamente
. Portanto, a norma é induzida por um produto interno se, e somente se, satisfaz a identidade do paralelogramo.