Exercício 4. Seja \|\cdot\| uma norma sobre o espaço vetorial \mathbb{V} (real ou complexo). Considere a identidade do paralelogramo:
\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}\right),
válida para quaisquer x, y \in \mathbb{V}. Mostre que a norma de \mathbb{V} é induzida por um produto interno se, e somente se, a identidade do paralelogramo vale para quaisquer pares de vetores de \mathbb{V}.

Passo 1

O enunciado afirma que, num espaço vetorial \mathbb{V} (sobre \mathbb{R} ou \mathbb{C}), uma norma \|\cdot\| é induzida por um produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle se, e somente se, para todos x,y\in\mathbb{V} vale a identidade do paralelogramo
\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\bigl(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}\bigr).
O conteúdo envolvido é a relação entre normas e produtos internos e a técnica principal será usar a expansão de \|x\pm y\|^2 no caso já induzido e, na outra mão, definir o produto interno via identidade de polarização.

Passo 2

Suponha que \|\cdot\| é induzida por um produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle. Então, por definição,
\|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle =\|x\|^{2}+2\Re\langle x,y\rangle+\|y\|^{2},
\|x-y\|^{2}=\langle x-y,x-y\rangle =\|x\|^{2}-2\Re\langle x,y\rangle+\|y\|^{2}.
Somando essas duas igualdades obtemos exatamente
\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2} =2\bigl(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}\bigr),
que é a identidade do paralelogramo.

Passo 3

Agora suponha que \|\cdot\| satisfaz a identidade do paralelogramo para todos x,y. Vamos construir um produto interno cuja norma seja a dada. No caso real definimos para x,y\in\mathbb{V}:
\langle x,y\rangle =\frac{1}{4}\Bigl(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\Bigr).
Pelo lado da positividade, tomando x=y vem \langle x,x\rangle=\|x\|^2\ge0 e vale \langle x,x\rangle=0 só se x=0. A simetria \langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle segue trocando x e y na fórmula. A bilinearidade em cada argumento se verifica expandindo \|x+y\|^2 e \|x-y\|^2 e usando repetidamente a identidade do paralelogramo para combinações lineares, de modo análogo à prova padrão em álgebra linear.

Passo 4

No caso complexo usamos a forma completa da identidade de polarização: para x,y\in\mathbb{V} definimos
\langle x,y\rangle =\frac{1}{4}\Bigl(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} +i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\Bigr).
Mostra-se que esta forma é sesquilinear, conjugado‐simétrica e positiva definida, e que sua norma \sqrt{\langle x,x\rangle} coincide com \|x\|. A verificação também usa a identidade do paralelogramo aplicada a x\pm y e x\pm iy.

Resposta

Mostramos que (1) se a norma vem de um produto interno, então a identidade do paralelogramo vale por expansão; (2) se a norma satisfaz a identidade do paralelogramo, então definindo o produto interno via identidade de polarização (fórmula no caso real e no caso complexo) obtemos um produto interno cuja norma é exatamente \|\cdot\|. Portanto, a norma é induzida por um produto interno se, e somente se, satisfaz a identidade do paralelogramo.

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