Exercício 3. Seja \mathbb{V}=\mathbb{V}_{\mathbb{C}} um espaço vetorial complexo. Seja \mathbb{V}_{\mathbb{R}} o espaço vetorial real obtido restringindo-se o produto por escalar de \mathbb{V} para escalares reais. Dado um produto interno (complexo) \langle\cdot, \cdot\rangle sobre \mathbb{V}_{\mathbb{C}}, defina, para todos x, y \in \mathbb{V},
Para mostrar que \langle\cdot,\cdot\rangle_{\mathbb{R}} é um produto interno real, precisamos verificar três propriedades para todos x,y,z\in\mathbb{V} e todo \alpha\in\mathbb{R}:
Os mesmos cálculos valem para o segundo argumento, pois \langle x,y+y'\rangle e \langle x,\alpha y\rangle têm propriedades análogas, e a parte real preserva soma e fator real.
Passo 4
(Positividade definida) Pelo produto interno complexo sabemos que \langle x,x\rangle é real e estritamente positivo sempre que x\neq0. Assim
\langle x,y\rangle_{\mathbb{R}} = \operatorname{Re}\bigl(\langle x,y\rangle\bigr) satisfaz simetria, bilinearidade sobre \mathbb{R} e positividade definida, logo é de fato um produto interno real em \mathbb{V}_{\mathbb{R}}.