Exercício 3. Seja \mathbb{V}=\mathbb{V}_{\mathbb{C}} um espaço vetorial complexo. Seja \mathbb{V}_{\mathbb{R}} o espaço vetorial real obtido restringindo-se o produto por escalar de \mathbb{V} para escalares reais. Dado um produto interno (complexo) \langle\cdot, \cdot\rangle sobre \mathbb{V}_{\mathbb{C}}, defina, para todos x, y \in \mathbb{V},
\langle x, y\rangle_{\mathbb{R}}=\operatorname{Re}(\langle x, y\rangle) .
Mostre que \langle\cdot, \cdot\rangle_{\mathbb{R}} é um produto interno (real) sobre \mathbb{V}_{\mathbb{R}}.

Passo 1

O enunciado diz que em \mathbb{V}_{\mathbb{C}} temos um produto interno (complexo)
\langle x,y\rangle,
e que, ao restringir a multiplicação escalar a \mathbb{R}, obtemos \mathbb{V}_{\mathbb{R}}. Definimos então
\langle x,y\rangle_{\mathbb{R}} = \operatorname{Re}\bigl(\langle x,y\rangle\bigr).
Para mostrar que \langle\cdot,\cdot\rangle_{\mathbb{R}} é um produto interno real, precisamos verificar três propriedades para todos x,y,z\in\mathbb{V} e todo \alpha\in\mathbb{R}:
  1. simetria: \langle x,y\rangle_{\mathbb{R}} = \langle y,x\rangle_{\mathbb{R}},
  2. bilinearidade real em cada argumento,
  3. positividade definida: \langle x,x\rangle_{\mathbb{R}}>0 se x\neq0.

Passo 2

(Simetria) Como o produto interno complexo satisfaz \langle x,y\rangle = \overline{\langle y,x\rangle}, temos
\langle x,y\rangle_{\mathbb{R}} = \operatorname{Re}\bigl(\langle x,y\rangle\bigr) = \operatorname{Re}\bigl(\overline{\langle y,x\rangle}\bigr) = \operatorname{Re}\bigl(\langle y,x\rangle\bigr) = \langle y,x\rangle_{\mathbb{R}}.

Passo 3

(Bilinearidade sobre \mathbb{R})
  1. Aditividade no primeiro argumento:
\langle x+x',y\rangle_{\mathbb{R}} = \operatorname{Re}\bigl(\langle x+x',y\rangle\bigr) = \operatorname{Re}\bigl(\langle x,y\rangle + \langle x',y\rangle\bigr) = \operatorname{Re}\langle x,y\rangle + \operatorname{Re}\langle x',y\rangle = \langle x,y\rangle_{\mathbb{R}} + \langle x',y\rangle_{\mathbb{R}}.
  1. Homogeneidade no primeiro argumento (para \alpha\in\mathbb{R}):
\langle \alpha x,y\rangle_{\mathbb{R}} = \operatorname{Re}\bigl(\langle \alpha x,y\rangle\bigr) = \operatorname{Re}\bigl(\alpha\,\langle x,y\rangle\bigr) = \alpha\,\operatorname{Re}\langle x,y\rangle = \alpha\,\langle x,y\rangle_{\mathbb{R}}.
  1. Os mesmos cálculos valem para o segundo argumento, pois \langle x,y+y'\rangle e \langle x,\alpha y\rangle têm propriedades análogas, e a parte real preserva soma e fator real.

Passo 4

(Positividade definida) Pelo produto interno complexo sabemos que \langle x,x\rangle é real e estritamente positivo sempre que x\neq0. Assim
\langle x,x\rangle_{\mathbb{R}} = \operatorname{Re}\bigl(\langle x,x\rangle\bigr) = \langle x,x\rangle >0 \quad\text{para }x\neq0.

Resposta

\langle x,y\rangle_{\mathbb{R}} = \operatorname{Re}\bigl(\langle x,y\rangle\bigr) satisfaz simetria, bilinearidade sobre \mathbb{R} e positividade definida, logo é de fato um produto interno real em \mathbb{V}_{\mathbb{R}}.

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