Exercício 2. Se \mathbb{V} é um EPI complexo, então para todos x, y \in \mathbb{V} vale que
\operatorname{Im}(\langle x, y\rangle)=\operatorname{Re}(\langle x, i y\rangle) .

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, em um espaço pré-hilbertiano complexo \mathbb V, vale sempre
\operatorname{Im}\bigl(\langle x,y\rangle\bigr) = \operatorname{Re}\bigl(\langle x,i\,y\rangle\bigr)
para quaisquer x,y\in\mathbb V. Vamos usar a propriedade de sesquilinearidade (conjugada no segundo fator) da forma interna.

Passo 2

Em um EPI complexo com convenção “linear em x e conjugada-linear em y”, temos para todo escalar a\in\mathbb C e todo u,v\in\mathbb V
\langle u,a\,v\rangle = \overline{a}\,\langle u,v\rangle.

Passo 3

Escolhendo a=i, obtemos
\langle x,i\,y\rangle = \overline{i}\,\langle x,y\rangle = -\,i\,\langle x,y\rangle.

Passo 4

Escrevendo \langle x,y\rangle = a + i\,b com a,b\in\mathbb R, temos
-\,i\,(a + i\,b) = -\,i\,a + b = b - i\,a.
Dessa forma
\operatorname{Re}\bigl(\langle x,i\,y\rangle\bigr) = \operatorname{Re}(b - i\,a) = b = \operatorname{Im}\bigl(\langle x,y\rangle\bigr).

Resposta

\operatorname{Im}\bigl(\langle x,y\rangle\bigr) = \operatorname{Re}\bigl(\langle x,i\,y\rangle\bigr).

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