Q. 1. Qual a alternativa verdadeira?
(a) Se f(1)=2, então lim x 1 f(x)=2;
(b) A função f:[a, b] R é contínua. Se f(a) cdot f(b)<0, então f possui algum zero em [a, b];
(c) Se lim x a f(x)=L, então lim x a^+ f(x)-lim x a^- f(x) neq 0;
(d) Se f é uma função contínua para todo x neq 0 com f(0)=0, então lim x 0 f(x)=0.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro afirmações envolvendo limites e continuidade de uma função f. O que precisamos saber é:
– Definição de limite e continuidade em um ponto;
– Teorema do Valor Intermediário (para funções contínuas em um intervalo);
– Relação entre limite bilateral e limites laterais.

Passo 2

Analisando a alternativa (a): “Se f(1)=2, então limxto1f(x)=2”.
Isso exigiria que f fosse contínua em x=1. Mas o enunciado só diz o valor de f(1), sem garantir continuidade. Portanto, (a) é falsa.

Passo 3

Analisando a alternativa (b): “A função f:[a,b]toR é contínua. Se f(a)cdot f(b)<0, então f possui algum zero em [a,b]”.
Pela aplicação do Teorema do Valor Intermediário, uma função contínua que assume sinais opostos em a e b necessariamente tem pelo menos uma raiz no intervalo. Logo, (b) é verdadeira.

Passo 4

Analisando a alternativa (c): “Se limxto af(x)=L, então limxto a^+f(x)-limxto a^-f(x)neq0”.
Quando o limite bilateral existe e vale L, os limites laterais são iguais a L, de modo que sua diferença é zero. Logo, (c) é falsa.

Passo 5

Analisando a alternativa (d): “Se f é contínua para todo xneq0 com f(0)=0, então limxto0f(x)=0”.
Aqui não há hipótese de continuidade em 0. Sem essa hipótese, o limite pode não existir ou ser diferente de 0. Por exemplo, f(x)=sin(1/x) para xneq0 e f(0)=0 falha em ter limite em 0. Logo, (d) é falsa.

Resposta

(b)

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