Q. 1. Qual a alternativa verdadeira?
(a) Se
, então
;
(b) A função
é contínua. Se
, então
possui algum zero em
;
(c) Se
, então
;
(d) Se
é uma função contínua para todo
com
, então
.
(a) Se
(b) A função
(c) Se
(d) Se
Passo 1
O enunciado apresenta quatro afirmações envolvendo limites e continuidade de uma função
. O que precisamos saber é:
– Definição de limite e continuidade em um ponto;
– Teorema do Valor Intermediário (para funções contínuas em um intervalo);
– Relação entre limite bilateral e limites laterais.
– Definição de limite e continuidade em um ponto;
– Teorema do Valor Intermediário (para funções contínuas em um intervalo);
– Relação entre limite bilateral e limites laterais.
Passo 2
Analisando a alternativa (a): “Se
, então
”.
Isso exigiria que fosse contínua em
. Mas o enunciado só diz o valor de
, sem garantir continuidade. Portanto, (a) é falsa.
Isso exigiria que
Passo 3
Analisando a alternativa (b): “A função
é contínua. Se
, então
possui algum zero em
”.
Pela aplicação do Teorema do Valor Intermediário, uma função contínua que assume sinais opostos em e
necessariamente tem pelo menos uma raiz no intervalo. Logo, (b) é verdadeira.
Pela aplicação do Teorema do Valor Intermediário, uma função contínua que assume sinais opostos em
Passo 4
Analisando a alternativa (c): “Se
, então
”.
Quando o limite bilateral existe e vale , os limites laterais são iguais a
, de modo que sua diferença é zero. Logo, (c) é falsa.
Quando o limite bilateral existe e vale
Passo 5
Analisando a alternativa (d): “Se
é contínua para todo
com
, então
”.
Aqui não há hipótese de continuidade em . Sem essa hipótese, o limite pode não existir ou ser diferente de
. Por exemplo,
para
e
falha em ter limite em
. Logo, (d) é falsa.
Aqui não há hipótese de continuidade em
Resposta
(b)