Exercício 2: Seja
o sólido limitado pelas superfícies
e
.
Escreva a integral tripla de uma função
contínua e genérica sobre o sólido
em coordenadas esféricas.
Escreva a integral tripla de uma função
Passo 1
O enunciado pede para escrever a integral tripla de uma função genérica g(x,y,z) sobre o sólido R limitado por y=√((x²+z²)/3) e y=5. O conteúdo envolvido é a passagem para coordenadas esféricas e precisamos reescrever as equações das superfícies e o elemento de volume em esféricas.
Passo 2
Definimos coordenadas esféricas com o eixo polar ao longo do eixo y:
x = ρ sinφ cosθ
y = ρ cosφ
z = ρ sinφ sinθ
y = ρ cosφ
z = ρ sinφ sinθ
O jacobiano do volume é dV = ρ² sinφ dρ dφ dθ.
Passo 3
Expressamos as superfícies em esféricas:
– Cone: y = √((x²+z²)/3)
ρ cosφ = (1/√3)·ρ sinφ
⇒ tanφ = √3
⇒ φ = π/3.
ρ cosφ = (1/√3)·ρ sinφ
⇒ tanφ = √3
⇒ φ = π/3.
– Plano: y = 5
ρ cosφ = 5
⇒ ρ = 5/ cosφ.
ρ cosφ = 5
⇒ ρ = 5/ cosφ.
Passo 4
Dessa forma o sólido R corresponde a 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π/3 e 0 ≤ ρ ≤ 5/ cosφ. Montamos então a integral tripla em esféricas.