Exercício 2: Seja R o sólido limitado pelas superfícies y=5 e y=raiz(x^2+z^2) / 3.
Escreva a integral tripla de uma função g(x, y, z) contínua e genérica sobre o sólido R em coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a integral tripla de uma função genérica g(x,y,z) sobre o sólido R limitado por y=√((x²+z²)/3) e y=5. O conteúdo envolvido é a passagem para coordenadas esféricas e precisamos reescrever as equações das superfícies e o elemento de volume em esféricas.

Passo 2

Definimos coordenadas esféricas com o eixo polar ao longo do eixo y:
x = ρ sinφ cosθ
y = ρ cosφ
z = ρ sinφ sinθ
O jacobiano do volume é dV = ρ² sinφ dρ dφ dθ.

Passo 3

Expressamos as superfícies em esféricas:
– Cone: y = √((x²+z²)/3)
ρ cosφ = (1/√3)·ρ sinφ
⇒ tanφ = √3
⇒ φ = π/3.
– Plano: y = 5
ρ cosφ = 5
⇒ ρ = 5/ cosφ.

Passo 4

Dessa forma o sólido R corresponde a 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π/3 e 0 ≤ ρ ≤ 5/ cosφ. Montamos então a integral tripla em esféricas.

Resposta

integraltheta=0^2piintegralphi=0^pi/3integralrho=0^5/cosphigl(rhosinphicostheta,,rhocosphi,,rhosinphisinthetar),rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

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