Se lim h 0 sen xx=1, calcule:
lim x 1 sen pi xx-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um limite para calcular que envolve seno e uma expressão que está dando uma indeterminação. O conteúdo aqui é de Cálculo de Limites, especificamente quando temos uma forma indeterminada como 0/0. Vamos precisar usar a propriedade que sabemos que limh 0 sin hh = 1 para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando substituímos x por 1 no limite original:
limx 1 sin pi xx - 1
Se colocarmos x = 1, temos sin pi = 0 no numerador e 1 -1 = 0 no denominador, o que dá uma forma indeterminada 00. Quando isso acontece, podemos tentar manipular a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar h = x - 1, o que significa que, quando x se aproxima de 1, h se aproxima de 0. Vamos reescrever o limite em termos de h:
limh 0 sin pi (1 + h)h

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão dentro do seno:
sin pi (1 + h) = sin (pi + pi h)
Sabemos que sin(pi + theta) = -sin theta. Então:
sin (pi + pi h) = -sin (pi h)
Substituindo de volta na expressão do limite:
limh 0 -sin pi hh = - limh 0 sin pi hh

Passo 5

Agora, observamos que temos a expressão sin pi hh, que se assemelha muito à propriedade que sabemos: limh 0 sin hh = 1. Para usar essa propriedade, vamos ajustar um pouco a expressão:
sin pi hh = pi cdot sin pi hpi h
Então, substituindo de volta no limite:
- limh 0 pi cdot sin pi hpi h = -pi cdot limh 0 sin pi hpi h

Passo 6

Sabemos que limk 0 sin kk = 1 (onde k = pi h). Então:
limh 0 sin pi hpi h = 1
Portanto:
-pi cdot 1 = -pi

Resposta

boxed-pi

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