Se
, calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um limite para calcular que envolve seno e uma expressão que está dando uma indeterminação. O conteúdo aqui é de Cálculo de Limites, especificamente quando temos uma forma indeterminada como 0/0. Vamos precisar usar a propriedade que sabemos que
para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando substituímos
por 1 no limite original:
Se colocarmos
, temos
no numerador e
no denominador, o que dá uma forma indeterminada
. Quando isso acontece, podemos tentar manipular a expressão para resolver o limite.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar
, o que significa que, quando
se aproxima de 1,
se aproxima de 0. Vamos reescrever o limite em termos de
:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão dentro do seno:
Sabemos que
. Então:
Substituindo de volta na expressão do limite:
Passo 5
Agora, observamos que temos a expressão
, que se assemelha muito à propriedade que sabemos:
. Para usar essa propriedade, vamos ajustar um pouco a expressão:
Então, substituindo de volta no limite:
Passo 6
Sabemos que
(onde
). Então:
Portanto: