Exercício 2: Seja R o sólido limitado pelas superfícies y=5 e y=raiz(x^2+z^2) / 3.
Escreva a integral tripla de uma função g(x, y, z) contínua e genérica sobre o sólido R em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Estamos querendo escrever a integral tripla de uma função contínua genérica g(x,y,z) sobre o sólido R limitado pelas superfícies y=5 e y=raiz(x^2+z^2)/3. O que cai aqui é integração em coordenadas cilíndricas e uso do fator jacobiano r.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos as substituições x=rcostheta, z=rsintheta e mantemos y=y. O elemento de volume fica dV=r,dr,dtheta,dy.

Passo 3

A superfície inferior y=raiz(x^2+z^2)/3 vira y=raizr^2/3=r/raiz3, e a superior é y=5. Logo, para cada (r,theta), y varia de r/raiz3 até 5.

Passo 4

Agora precisamos do domínio projetado no plano xz, que em cilindricas é 0<= r<= Rmax e 0<=theta<=2pi. O valor de Rmax vem de resolver r/raiz3=5, ou seja r=5raiz3.

Passo 5

Portanto a integral em coordenadas cilíndricas fica:
integraltheta=0^2pi!integralr=0^5raiz3!integraly=r/raiz3^5gl(rcostheta,y,rsinthetar),r,dy,dr,dtheta

Resposta

integraltheta=0^2piintegralr=0^5raiz3integraly=r/raiz3^5gl(rcostheta,y,rsinthetar),r,dy,dr,dtheta

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