Se
para todo x , encontre
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função $ f(x) $ que está sempre entre 1 e $ x^2 + 2x + 2 $ para todo valor de $ x $. O objetivo aqui é encontrar o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de -1. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema do Aperto (ou Teorema do Sandwich), que é uma ferramenta útil para encontrar limites quando a função está entre duas outras funções cujo limite conhecemos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dizer que $ 1 \leq f(x) \leq x^2 + 2x + 2 $. Isso quer dizer que, para qualquer valor de $ x $, o valor de $ f(x) $ nunca será menor que 1 e nunca será maior que $ x^2 + 2x + 2 $.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite das duas funções que estão como “camadas” ao redor de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de -1. Ou seja, vamos encontrar:
Passo 4
Calculando o primeiro limite:
Isso porque 1 é uma constante, então o limite dela é ela mesma.
Passo 5
Agora, calculando o segundo limite:
Primeiro, substituímos $ x $ por -1 na expressão:
Então,
Passo 6
Agora que temos os limites das duas funções que “apertam” $ f(x) $ em 1, podemos aplicar o Teorema do Aperto. Esse teorema diz que se $ g(x) \leq f(x) \leq h(x) $ e $ \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L $, então $ \lim_{x \to a} f(x) = L $.
No nosso caso, $ g(x) = 1 $, $ h(x) = x^2 + 2x + 2 $, e ambos os limites são 1 quando $ x $ se aproxima de -1.
Passo 7
Aplicando o Teorema do Aperto: