Calcule:
integral triplaE z d V, onde E é o sólido limitado por z=raiz1-x^2-y^2 e z=raiz4-x^2-y^2.

Passo 1

O enunciado pede o valor do integral
integral triplaE z ,dV,
onde E é o sólido limitado pelas superfícies
z=raiz1 - x^2 - y^2 e z=raiz4 - x^2 - y^2
Para resolver, vamos usar coordenadas cilíndricas e o Jacobiano correspondente.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas definimos
x = rcostheta, y = rsintheta, z=z,
com r>=0, thetain[0,2pi].
As superfícies viram
zrm inf = raiz1 - r^2, zrm sup = raiz4 - r^2,
e o domínio em r é 0<= r<=1 (pois para r>1 a raiz raiz1-r^2 não é real).

Passo 3

O elemento de volume em cilíndricas é dV = r,dz,dr,dtheta. Assim
integral triplaEz,dV = integraltheta=0^2pi integralr=0^1 integralz=raiz1 - r^2^raiz4 - r^2 z,l(r,dz,r),dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integralraiz1 - r^2^raiz4 - r^2 z,dz = 12l[(raiz4 - r^2)^2 - (raiz1 - r^2)^2r] = 12l[(4 - r^2) - (1 - r^2)r] = 32
Multiplicando pelo fator r do Jacobiano, o integrando em r,theta fica tfrac3r2.

Passo 5

Agora
integraltheta=0^2pi!!integralr=0^13r2,dr,dtheta = l(integral0^2pidthetar); 32l(integral0^1r,drr) = 2picdot32cdot12 = 3pi2

Resposta

3pi2

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