É possível encontrar um conjunto gerador de P(R) com um número finito de elementos?

Passo 1

O enunciado pergunta se o espaço vetorial P(R) (o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais) admite um conjunto gerador finito. O conteúdo é dimensão de espaços vetoriais e geradores (spanning set).

Passo 2

Lembrando que um conjunto Gsubset P(R) é gerador se toda combinação linear de elementos de G produz qualquer polinômio em P(R). Em particular, se G=p1,p2,dots,pk e deg(pi) é o grau de pi, então qualquer combinação linear de elementos de G tem grau no máximo
n = maxldeg(p1),deg(p2),dots,deg(pk)r

Passo 3

Suponha, por absurdo, que exista um conjunto gerador finito G=p1,dots,pk. Defina
n = max1<= i<= kdegl(pir)
Então toda combinação linear de polinômios em G tem grau <= n. Mas o polinômio x^n+1 tem grau n+1, logo não pode ser gerado por combinações lineares de grau <= n. Isso contradiz a suposição de que G gera todo P(R).

Resposta

Não. Qualquer conjunto gerador de P(R) deve conter polinômios de graus arbitrariamente altos, portanto não existe gerador finito.

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