É possível encontrar um conjunto gerador de
com um número finito de elementos?
Passo 1
O enunciado pergunta se o espaço vetorial
(o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais) admite um conjunto gerador finito. O conteúdo é dimensão de espaços vetoriais e geradores (spanning set).
Passo 2
Lembrando que um conjunto
é gerador se toda combinação linear de elementos de
produz qualquer polinômio em
. Em particular, se
e
é o grau de
, então qualquer combinação linear de elementos de
tem grau no máximo
Passo 3
Suponha, por absurdo, que exista um conjunto gerador finito
. Defina
Então toda combinação linear de polinômios em
tem grau
. Mas o polinômio
tem grau
, logo não pode ser gerado por combinações lineares de grau
. Isso contradiz a suposição de que
gera todo
.
Resposta
Não. Qualquer conjunto gerador de
deve conter polinômios de graus arbitrariamente altos, portanto não existe gerador finito.