Exercício 1. Seja T tempo de vida com com densidade dada por
f(x)=1100 0
  1. Calcular a função de distribuição e função de sobrevivência
  2. Calcular a função de mortalidade
  3. Graficar estas funções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o tempo de vida $ T $ com uma densidade de probabilidade dada por:
T
Isso significa que estamos trabalhando com uma distribuição de probabilidade uniforme no intervalo de 0 a 100. Vamos precisar entender como calcular a função de distribuição acumulada (CDF), a função de sobrevivência e a função de mortalidade usando conceitos básicos de estatística e probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a função de distribuição acumulada (CDF), que representa a probabilidade de que a variável aleatória $ T $ seja menor ou igual a um valor $ x $. Para uma distribuição uniforme, a CDF é obtida integrando a densidade de probabilidade $ f(x) $:
T

Passo 3

Agora, vamos calcular a função de sobrevivência $ S(x) $, que representa a probabilidade de que $ T $ seja maior que $ x $. Ela é simplesmente o complemento da CDF:
S(x)

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a função de mortalidade $ h(x) $. Essa função indica a taxa de mortalidade no instante $ x $, ou seja, a taxa de falha naquele momento, dado que o indivíduo sobreviveu até $ x $. Ela é calculada pela relação entre a densidade de probabilidade e a função de sobrevivência:
h(x)

Passo 5

Por fim, vamos graphar essas funções para visualizar como elas se comportam:
  1. Função de Distribuição Acumulada $ F(x) $: É uma reta que começa em $ (0, 0) $ e vai até $ (100, 1) $, aumentando de forma linear.
  2. Função de Sobrevivência $ S(x) $: É uma reta decrescente que começa em $ (0, 1) $ e vai até $ (100, 0) $.
  3. Função de Mortalidade $ h(x) $: É uma curva que começa em $ h(0) = \frac{1}{100} $ e aumenta conforme $ x $ se aproxima de 100, tendendo ao infinito.

Resposta

  1. Função de Distribuição Acumulada:
F(x) = x100 para 0 <= x <= 100
  1. Função de Sobrevivência:
S(x) = 1 - x100 = 100 - x100 para 0 <= x <= 100
  1. Função de Mortalidade:
h(x) = 1100 - x para 0 <= x < 100

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