Exercício 1. Seja
tempo de vida com com densidade dada por
- Calcular a função de distribuição e função de sobrevivência
- Calcular a função de mortalidade
- Graficar estas funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o tempo de vida $ T $ com uma densidade de probabilidade dada por:
Isso significa que estamos trabalhando com uma distribuição de probabilidade uniforme no intervalo de 0 a 100. Vamos precisar entender como calcular a função de distribuição acumulada (CDF), a função de sobrevivência e a função de mortalidade usando conceitos básicos de estatística e probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a função de distribuição acumulada (CDF), que representa a probabilidade de que a variável aleatória $ T $ seja menor ou igual a um valor $ x $. Para uma distribuição uniforme, a CDF é obtida integrando a densidade de probabilidade $ f(x) $:
Passo 3
Agora, vamos calcular a função de sobrevivência $ S(x) $, que representa a probabilidade de que $ T $ seja maior que $ x $. Ela é simplesmente o complemento da CDF:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a função de mortalidade $ h(x) $. Essa função indica a taxa de mortalidade no instante $ x $, ou seja, a taxa de falha naquele momento, dado que o indivíduo sobreviveu até $ x $. Ela é calculada pela relação entre a densidade de probabilidade e a função de sobrevivência:
Passo 5
Por fim, vamos graphar essas funções para visualizar como elas se comportam:
- Função de Distribuição Acumulada $ F(x) $: É uma reta que começa em $ (0, 0) $ e vai até $ (100, 1) $, aumentando de forma linear.
- Função de Sobrevivência $ S(x) $: É uma reta decrescente que começa em $ (0, 1) $ e vai até $ (100, 0) $.
- Função de Mortalidade $ h(x) $: É uma curva que começa em $ h(0) = \frac{1}{100} $ e aumenta conforme $ x $ se aproxima de 100, tendendo ao infinito.
Resposta
- Função de Distribuição Acumulada:
- Função de Sobrevivência:
- Função de Mortalidade: